;):PProblema
Sia $ k $ un intero, ora sia $ h $ un multiplo di $ k $, provare che:
$ \displaystyle \frac{h!}{\left(\frac{h}{k}\right)!\left(k!\right)^{h/k}} $ è anch'esso intero
Ebbene, gente, è un intero!
Ebbene, gente, è un intero!
L'essere tornato a casa prima perchè non facevo l'individuale mi da almeno il vantaggio di postare questo simpatico problema, precedendo il "creatore" stesso ;):P
Problema
Sia $ k $ un intero, ora sia $ h $ un multiplo di $ k $, provare che:
$ \displaystyle \frac{h!}{\left(\frac{h}{k}\right)!\left(k!\right)^{h/k}} $ è anch'esso intero
;):PProblema
Sia $ k $ un intero, ora sia $ h $ un multiplo di $ k $, provare che:
$ \displaystyle \frac{h!}{\left(\frac{h}{k}\right)!\left(k!\right)^{h/k}} $ è anch'esso intero
...noiosa routine...
Lemma #1: per ogni $ m,n\in\mathbb{N}_0 $: $ m! \mid (n+1)(n+2)\ldots (n+m) $.
Dim.: è banale! Infatti, per ogni $ m,n\in\mathbb{N}_0 $, il coefficiente binomiale $ \displaystyle{\binom{n+m}{m}} $ è un numero intero. Del resto, per definizione: $ \displaystyle \binom{n+m}{m} = \frac{(m+n)!}{m! \cdot n!} $ $ \displaystyle = \frac{(n+1)(n+2)\ldots (n+m)}{m!} $, sicché necessariamente $ m! \mid (n+1)(n+2)\ldots (n+m) $, q.e.d.
D'altra parte, in base al lemma #1, per ogni $ j = 0, 1, \ldots, n-1 $: $ (k-1)! \mid (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1) $. Ergo $ ((k-1)!)^n \mid \prod_{j=0}^{n-1} (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1) $, e di qui l'asserto, q.e.d.
Nota: ho assunto si trattasse d'interi positivi, aspettando che Bollazzo mi dia conferma dell'intuizione...
Dim.: è banale! Infatti, per ogni $ m,n\in\mathbb{N}_0 $, il coefficiente binomiale $ \displaystyle{\binom{n+m}{m}} $ è un numero intero. Del resto, per definizione: $ \displaystyle \binom{n+m}{m} = \frac{(m+n)!}{m! \cdot n!} $ $ \displaystyle = \frac{(n+1)(n+2)\ldots (n+m)}{m!} $, sicché necessariamente $ m! \mid (n+1)(n+2)\ldots (n+m) $, q.e.d.
Essendo $ h,k\in\mathbb{N}_0 $, supponiamo sia $ h $ divisibile per $ k $. E allora esiste $ n\in\mathbb{N}_0 $ tale che $ h = nk $. Ne seguita che: $ \displaystyle \frac{h!}{\left(h/k\right)!\left(k!\right)^{h/k}} = \displaystyle \frac{(nk)!}{n! \cdot (k!)^n} = $ $ \displaystyle \frac{\prod_{j=0}^{n-1} (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1)}{((k-1)!)^n} $.Boll ha scritto: Sia $ k $ un intero, ora sia $ h $ un multiplo di $ k $, provare che: $ \displaystyle \frac{h!}{(h/k)!\left(k!\right)^{h/k}} $ è anch'esso intero
D'altra parte, in base al lemma #1, per ogni $ j = 0, 1, \ldots, n-1 $: $ (k-1)! \mid (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1) $. Ergo $ ((k-1)!)^n \mid \prod_{j=0}^{n-1} (jk + 1)(jk + 2) \ldots (jk+k-1) $, e di qui l'asserto, q.e.d.
Nota: ho assunto si trattasse d'interi positivi, aspettando che Bollazzo mi dia conferma dell'intuizione...
). Sei stato anche ermetico, tutto sommato, ma quando vedrai la Soluzione, ti mangerai le dita save our souls...
Orbene, tenterò di contenere l'ansia dell'attesa a forza di barbiturici e altri antidepressivi. Tu sai che fai?!? Corri alla pieve più vicina e accendi un cero anche per me: chissà che non possa addirittura superarmi! Nel frattempo, tuttavia...
P.S.: ci ho scritto "anche" perché almeno un altro cero, beh... dovresti accenderlo per te, Bollazzo mio.
...è troppo se ti chiedo di svelare il nome dell'artista del pensiero cui è dovuta tanta grazia?Boll ha scritto:L'essere tornato a casa prima perchè non facevo l'individuale mi da almeno il vantaggio di postare questo simpatico problema, precedendo il "creatore" stesso [...]
P.S.: ci ho scritto "anche" perché almeno un altro cero, beh... dovresti accenderlo per te, Bollazzo mio.
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Simo_the_wolf
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Re: Ebbene, gente, è un intero!
Il creatore dovrei essere io? Te ne ringrazio... Per quelli che erano a Cesenatico un suggerimento potrebbe essere di ricordarsi la gara a squadre.Boll ha scritto:L'essere tornato a casa prima perchè non facevo l'individuale mi da almeno il vantaggio di postare questo simpatico problema, precedendo il "creatore" stesso
Per HiT suggerirei di non pensare da teorico dei numeri, ma da olimpionico della matematica...