Diofantea2

[evans]

trovare le coppie di interi che soddisfano:


$ x^2+615=2^y $


determinare le soluzioni x y z intere positive di:

$ x^p+y^p+z^p=p^2 $

con p primo
Alla prima ho saputo dare una risposta ma alla seconda....
Qualcuno mi spiega anche cosa significa "congruenza modulo"(che ho trovato in alcune risposte ) e a cosa serve in queste equazioni?

[EvaristeG]

Per quanto riguarda le spiegazioni a proposito di congruenze e loro uso, ci dovrebbe essere un sacco di roba nella sezione "Glossario e teoria di base" ... scorri un poco i vari thread e troverai sicuramente qualcosa.

[HumanTorch]

determinare le soluzioni x y z intere positive di:

$ x^p+y^p+z^p=p^2 $

con p primo

innanzitutto $ (1;1;1) $ non funziona, quindi almeno uno di essi è maggiore di 1.Sia questo $ x $

è sempre vero (per $ i\geq 1 $ che $ i^2\leq 2^i+1 $: infatti, sarà $ 2^i $ la cardinalità di un insieme di i elementi e $ i^2=\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{n-2} $, e le conclusioni sono ovvie (l'uguaglianza è vera per $ i=1 $ e $ i=3 $, poichè $ 2<e<3 $; si veda a tale scopo l'andamento della funzione esponenziale). Quindi $ LHS\geq x^p+2> 2^p+1\geq p^2 $ Nessuna coppia

[hydro]

trovare le coppie di interi che soddisfano:


$ x^2+615=2^y $

qualcuno potrebbe gentilmente dirmi se è giusta questa soluzione? grazie!

$ \displaystyle615\equiv 0 $ $ mod $ $ 3 $
$ 2^{y}\equiv 1 $ $ mod $ $ 3 $ per y pari
$ 2^{y}\equiv 2 $ $ mod $ $ 3 $ per y dispari

ma 2 non è residuo quadratico mod 3 $ \rightarrow y=2k $

da cui $ (x+2^{k})(x-2^{k})=-615 $

fattorizzando 615 e risolvendo i vari sistemi si ottengono come uniche soluzioni $ (59;12) (-59;12) $