un'equazioncina banale banale

[ubermensch]

spero di azzeccare forum!!

Dire per quali primi p e per quali naturali n l'equazione p^k - 1 = nq ha soluzioni (k,q) con k divisore di n e q primo.

non sembra semplice vè?

Saluti,
Valerio

[HiTLeuLeR]

Dire per quali primi p e per quali naturali n l'equazione p^k - 1 = nq ha soluzioni (k,q) con k divisore di n e q primo.

Prima che mi ci dedichi, chiariscimi - ti prego! - un punto, uno soltanto... *Tu* l'hai risolto?! No, te lo chiedo perché sinceramente non riesco neppure a immaginare come si possa dare una forma decente (su, che basta un po' di fantasia!) alla soluzione di un problema del genere. Il Caso (!!!) vuole infatti che già l'equazione p = nq+1 (si direbbe k = 1) produca tutta un'intera famigliola di soluzioni (th. di Dirichlet) che in nessun modo può essere descritta se non con un'oscena perifrasi del tipo "l'insieme di tutte e sole le terne (n,p,q) di interi positivi tali che p e q siano primi entrambi e p sia del tipo nq + 1" (o equipollenti).

Ché d'altro canto già determinare in forma chiusa ("Questo è un abuso bello e buono, si vergogni!") le soluzioni alla diofantea 3^k - 1 = 2n, nell'ipotesi che k > 1 sia un divisore intero positivo di n, beh... non mi pare proponibile.

In conclusione, non è che il problema sia difficile: è piuttosto che il problema non si pone.

P.S.: ...però è escluso che n possa essere un numero primo, ecco... sì, ecco...

[ubermensch]

mmm... a questo non avevo pensato!
Dunque, io il problema non l'ho risolto e, per ora, ogni approccio è stato vano; non so neanche se sia un problema risolubile, in quanto mi è uscita fuori quell'equazione da una cosa su cui sto lavorando... l'unica cosa positiva è che non mi interessano le soluzioni (e mi è sembrato che il problema che hai posto riguardasse queste) ma soltanto sapere quando esistono: "per quali p ed n". Forse (?!) questo è un problema abbordabile...

p.s. Scusa il ritardo, ma sono stato fuori.

Saluti,
Valerio

[HiTLeuLeR]

Anche posto in questi termini, dubito fortemente che si possa rispondere come immagino vorresti... E' quasi ovvio infatti che, per ogni $ p \in \mathfrak{P} $, esistono infinite 3-uple (n,k,q) di interi positivi tali che $ k \mid n $, q è primo e $ p^k - 1 = nq $. Se p > 2, ad esempio, basta osservare che $ 2^{t+1} \mid (p^{2^t} - 1) $ (th. di Euler-Fermat) e porre quindi $ k = 2^t $, $ q = 2 $ ed $ n = \displaystyle\frac{p^{2^t} - 1}{2} $.

Mettici pure in mezzo l'altra osservazione a proposito del teorema di Dirichlet e dei primi nelle progressioni aritmetiche e capisci bene che la tua questione assume tutti i connotati dell'impossibile ultradivino.

Ti ripeto, un fatto è certo: è escluso che n possa essere un numero primo.

[ubermensch]

Già... e per p = 2? sembrerebbe (?!) che non ci siano soluzioni in quanto, se ci fossero, n dividerebbe 2^k - 1 e quindi anche k lo dividerebbe e sembra (??!!) che questo fatto non sia possibile..

cosa ne pensi?

grazie comunque per l'aiuto

Saluti
Valerio

[HiTLeuLeR]

Già... e per p = 2? sembrerebbe (?!) che non ci siano soluzioni in quanto, se ci fossero, n dividerebbe 2^k - 1 e quindi anche k lo dividerebbe e sembra (??!!) che questo fatto non sia possibile.

Ti avrei risposto già da un po', se non fosse che il sito, ultimamente, fa le bizze come non mai... In ogni caso, eccoti la mia:

CLAIM: se $ n\in\mathbb{Z}^+ $ ed $ n \mid (2^n - 1) $, allora necessariamente $ n=1 $.

Proof: supposto $ n > 1 $, poni $ p = \min\{q \in \mathfrak{P}: q \mid n\} $. Ovviamente $ \gcd(2,p) = 1 $, per cui $ 1 < \mbox{ord}_p(2) \le \gcd(n,p-1) $. Eppure ogni primo $ q $ che divide $ n $ è maggiore di $ p-1 $, by design. Perciò $ \gcd(n,p-1) = 1 $, assurdo. Segue la tesi, q.e.d.