Sette e mezzo nei reali...

[moebius]

Nel mondo degli Aleph si riesce difficilmente a concepire il concetto di finito e sinceramente anche $ ~\aleph_0 $ (o $ ~\omega $ per gli amici) è mal visto in quanto ha tutte le fortune... prima tra tutte il fatto di sapere precisamente dove sta di casa!
Quindi quando si ritrovano tra amici la sera, a giocare a carte, utilizzano un mazzo che contiene una carta per ogni numero reale tra 0 ed 1 (estremi esclusi).
Ogni giocatore puo' chiedere carte in successione (ovviamente anche infinite, purchè numerabili... questo $ ~\mathbb{N} $ ha tutte le fortune!) finchè non decide di fermarsi.
A quel punto si sommano i valori di tutte le carte uscite.
Se la somma è maggiore o uguale a 1 il giocatore ha sballato e perde. Altrimenti il suo punteggio è tale somma.
Vince ovviamente chi, tra i giocatori, totalizza il punteggio maggiore.
Qual'è la probabilità di fare almeno 0.5?

Speriamo non finisca in MNE...

[julio14]

Manca il numero di carte che uno chiede. Io interpreto: quando il giocatore sta per sballare, ha una premonizione per cui vede la carta e si ferma. Giusto?

[moebius]

Hmmm.... no.
Provo a riformulare.
Diciamo che lo scopo di un giocatore è fare più di 0.5.
Qual'è la probabilità che ci riesca?

[julio14]

Si ma il problema è che così la probabilità dipende dal giocatore, che sceglie quando fermarsi, il mio era un modo di eludere la mentalità del giocatore, ipotizzando che lui grazie a poteri paranormali giochi nel modo migliore possibile, e cioè fermandosi sempre una carta prima di sballare. Se no come fai a decidere quando uno si ferma? O tiri in ballo la statistica o la psicologia, ma nessuna delle due mi sembra adatta al forum...

[moebius]

Bon... eppure mi sembrava chiaro...
Il giocatore si ferma appena supera 0.5...
Il suo scopo è fare quello, perchè dovrebbe correre il rischio di sballare se ha vinto? Così come non si ferma prima per lo stesso motivo.
Adesso è chiaro anche senza l'uso di poteri paranormali?

Edit: forse avrei dovuto aggiungere "supponendo che il giocatore non sia un pirla..."

[julio14]

Ah ok ora è più chiaro! In effetti potevo capirlo anche dal tuo secondo post... Cmq a me era venuta in mente dando per scontato che dovesse battere anche gli altri giocatori (e quindi doveva fare il punteggio più alto <1 possibile). A me sembra che le due versioni diano lo stesso risultato, ma, se non è così, lancio la mia variante!

[Febo]

Uhm, a me viene $ \displaystyle\frac{\sqrt{e}}{2} $

Fammi sapere se e' giusto che posto il ragionamento che ho fatto...

[moebius]

Giusto

[Febo]

Allora, penso sia cosi':

intanto la probabilita' che una carta sia estratta 2 volte e' 0, per cui posso supporre che le carte, una volta usate, siano rimesse nel mazzo.

Ora io posso calcolare la probabilita' che si faccia un buon punteggio quando il mazzo, anziche' tutti i reali tra 0 e 1, contiene 1/(2m), 2/(2m). ..., (2m-1)/(2m) e, per m che tende a infinito, ottengo il risultato giusto...

Questa probabilita' quanto vale??

$ ~\displaystyle \frac{1}{(2m-1)^m}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{k=i}^{m-1} {k-1\choose {i-1}}\cdot m\cdot(2m-1)^{m-i-1} $$ =~\displaystyle \frac{1}{(2m-1)^m}\sum_{i=0}^{m-1} {m-1\choose {i}}\cdot m\cdot(2m-1)^{m-i-1} $$ ~\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{2m}{2m-1}\right) ^m $

Che, per $ m\to \infty $, e' $ \displaystyle\frac{\sqrt{e}}{2} $

[moebius]

Allora, penso sia cosi':

intanto la probabilita' che una carta sia estratta 2 volte e' 0, per cui posso supporre che le carte, una volta usate, siano rimesse nel mazzo.

Ora io posso calcolare la probabilita' che si faccia un buon punteggio quando il mazzo, anziche' tutti i reali tra 0 e 1, contiene 1/(2m), 2/(2m). ..., (2m-1)/(2m) e, per m che tende a infinito, ottengo il risultato giusto...

Questa probabilita' quanto vale??

$ ~\displaystyle \frac{1}{(2m-1)^m}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{k=i}^{m-1} {k-1\choose {i-1}}\cdot m\cdot(2m-1)^{m-i-1} $$ =~\displaystyle \frac{1}{(2m-1)^m}\sum_{i=0}^{m-1} {m-1\choose {i}}\cdot m\cdot(2m-1)^{m-i-1} $$ ~\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{2m}{2m-1}\right) ^m $

Che, per $ m\to \infty $, e' $ \displaystyle\frac{\sqrt{e}}{2} $

Non è che puoi spendere due parole su come hai calcolato la probabilità?
Perchè i passaggi che seguono sono giusti (a meno di mettersi d'accordo su qualche indice), ma il nocciolo sta lì

[Febo]

Ok, allora (indici a parte):

la prima formula calcola il numero di configurazioni buone cosi': il binomiale serve per far in modo che la somma delle prime i carte sia <m, poi m sono le possibili i+1 esime carte che mi fanno andare nella fascia di punteggio giusto e $ (2m-1)^{m-i-1} $ e' il modo di far uscire le carte successive. Dal primo al secondo passaggio applico una nota formula sulla somma dei binomiali e dal secondo al terzo e' il binomio di Newton. Fammi sapere se non sono stato chiaro da qualche parte...

ciaociao

[moebius]

Ok... avrei solo un'obbiezione...
Che succede se cambi suddivisione? Nel senso... siamo sicuri che il risultato sia indipendente dalla suddivisione scelta?
Per dirne una: tu hi supposto (giustamente) che vengano estratte al più m carte perchè dopo m carte, con la tua suddivisione, il gioco finisce (o si sballa o si vince).
Ma se avessi diviso in 2m-1 pezzi l'intervallo non equidistanti questo non sarebbe stato più vero (Prendi ad esempio i 3 razionali 1/10^10, 1/2 e 3/4).

[killing_buddha]

forse avrei dovuto aggiungere "supponendo che il giocatore non sia un pirla..."

Peter:"carta."
Croupier:"diciotto."
P: "carta."
Lois: "peter fermati!"
C: "venti."
P: "carta."
C: "ventuno, ha vinto!"
P: "carta."
L: "peter, basta, hai vinto!"
C: "ventinove, ha sbancato."
P: "carta."

[Febo]

siamo sicuri che il risultato sia indipendente dalla suddivisione scelta?

Mah, onestamente anch'io sono abbastanza in dubbio su quanto sia lecito cio' che ho fatto, pero' la vedo cosi': piu' sale n, piu' scende la probabilita' di vincere in n mosse. Quindi per n moolto grande potremmo considerarla trascurabile. Con il trucchetto degli x/(2m) se finisco il gioco (il gioco con i reali da 0 a 1) in meno di 2m mosse sostanzialmente non cambia nulla e al crescere di m, la probabilita' di vincere in piu' di 2m mosse va a 0. Decidere quali suddivisioni siano buone e quali cattive mi sembra una fatica improba (almeno per me) pero' quelle in cui gli intervalli sono arbitrariamente piccoli dovrebbero andar bene..

(lol per killing_buddha)

[fph]

Qualche mese fa avevamo risolto un esercizio con un testo molto simile (o forse addirittura uguale, non ricordo bene il testo) a colpi di integrali... sei proprio proprio sicuro che il posto più adatto non sia in MNE?