Una barca che va da sola... se sai farla andare!
Una barca che va da sola... se sai farla andare!
Una barca in avaria (non è possibile utilizzare il
timone) si trova sulla riva di un fiume (punto A).
Il pilota deve portare la barca in B (sulla sponda
opposta, dritto davanti ad A) e non può virare
e la barca può andare and una velocità costante
v0 = 3 m/s. Determinare la direzione verso cui il pilota
deve fare viaggiare la barca sapendo che la corrente nel
fiume cresce linearmente dalle rive (dove è nulla) verso
il centro dove raggiunge il valore massimo di Vmax = 2
m/s. Determinare anche il punto dove andrebbe a
toccare la sponda opposta se la barca partisse in
direzione ortogonale alla riva.
Molto carino, ho due mie soluzioni, ma sulla seconda nutro qualche dubbio:
$ \sin(\alpha)= \frac{2}{3}, BC = \frac{5}{6}AB $, essendo C il punto d'arrivo sulla sponda opposta nel secondo caso.
timone) si trova sulla riva di un fiume (punto A).
Il pilota deve portare la barca in B (sulla sponda
opposta, dritto davanti ad A) e non può virare
e la barca può andare and una velocità costante
v0 = 3 m/s. Determinare la direzione verso cui il pilota
deve fare viaggiare la barca sapendo che la corrente nel
fiume cresce linearmente dalle rive (dove è nulla) verso
il centro dove raggiunge il valore massimo di Vmax = 2
m/s. Determinare anche il punto dove andrebbe a
toccare la sponda opposta se la barca partisse in
direzione ortogonale alla riva.
Molto carino, ho due mie soluzioni, ma sulla seconda nutro qualche dubbio:
$ \sin(\alpha)= \frac{2}{3}, BC = \frac{5}{6}AB $, essendo C il punto d'arrivo sulla sponda opposta nel secondo caso.
Io l'ho fatto così (anche se ho dei dubbi sulla prima parte)...
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $
- Allegati
-
- barca.gif (2.03 KiB) Visto 7778 volte
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
Punto 2.
In questo caso le equazioni del moto sono
$ dy=v_0dt $
$ dx=v(y)dt $, cioè sostituendo $ $dx=\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy$ $
Integrando mi ricavo lo spostamento laterale $ s $
$ $s=\int_{-l}^{l}\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy=2l\frac{v_m}{v_o}-\frac{v_m}{v_o}\frac{l^2-(-l^2)}{2l}=\frac{4}{3}l-\frac{2}{3}l=\frac{2}{3}l$ $
cioé $ BC=\frac{1}{3}AB $
Scusate per il tanto (troppo!) Latex e per aver spezzato in due parti il procedimento... sperando di non averlo sbagliato
In questo caso le equazioni del moto sono
$ dy=v_0dt $
$ dx=v(y)dt $, cioè sostituendo $ $dx=\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy$ $
Integrando mi ricavo lo spostamento laterale $ s $
$ $s=\int_{-l}^{l}\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy=2l\frac{v_m}{v_o}-\frac{v_m}{v_o}\frac{l^2-(-l^2)}{2l}=\frac{4}{3}l-\frac{2}{3}l=\frac{2}{3}l$ $
cioé $ BC=\frac{1}{3}AB $
Scusate per il tanto (troppo!) Latex e per aver spezzato in due parti il procedimento... sperando di non averlo sbagliato
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
....(per il punto 1) visto che la corrente del fiume cresce linearmente non si può supporre che mediamente la barca sia sottoposta alla corrente di 1 m/s?Rigel ha scritto:Io l'ho fatto così (anche se ho dei dubbi sulla prima parte)...
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $
(per non usare integrali ecc.)
in questo caso la componente sulla asse x della velocità iniziale deve bilanciare la corrente
$ $$\sin \alpha \cdot 3 \frac{m}{s} = 1 \frac{m}{s}$$ $
$ $$\sin \alpha = \frac {1}{3}$$ $
forse suppongo troppo....
Vero non ci avevo proprio pensato!
E io che ci ho scritto un romanzo quando c'è una soluzione molto più semplice!!
Ora che ci penso si può usare la velocità media anche per il punto 2, ottendendo $ 2l=v_0t $
$ $s=v_{media}t=\frac{2v_{media}l}{v_0}=\frac{2}{3}l$ $
Accidenti devo smetterla di perdere la testa dietro a soluzioni così lunghe e brutte
E io che ci ho scritto un romanzo quando c'è una soluzione molto più semplice!!
Ora che ci penso si può usare la velocità media anche per il punto 2, ottendendo $ 2l=v_0t $
$ $s=v_{media}t=\frac{2v_{media}l}{v_0}=\frac{2}{3}l$ $
Accidenti devo smetterla di perdere la testa dietro a soluzioni così lunghe e brutte
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
Non dovresti sbagliare
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
Dunque, se per y=o si ha il vertice di questa parabola, la velocità in questo punto deve essere solamente lungo l'asse y, giusto? E dunque $ - v_{0} \sin(\theta) +2 = 0 $, da cui $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, no? Dove sbaglio?Rigel ha scritto:Non dovresti sbagliare
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli
Il secondo risultato, invece, me lo attendevo come il tuo, per una questione di simmetria nel mio ragionamento; avrò sbagliato da qualche parte...
se la corrente non è costante neanche il vettore velocità della barca è costante...ico1989 ha scritto:Dunque, se per y=o si ha il vertice di questa parabola, la velocità in questo punto deve essere solamente lungo l'asse y, giusto? E dunque $ - v_{0} \sin(\theta) +2 = 0 $, da cui $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, no? Dove sbaglio?Rigel ha scritto:Non dovresti sbagliare
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli
nel tuo questo caso analizzi solo la situazione in un punto...cioè se la corrente è stabile a 2 m/s... .......se la barca fosse sottoposta sempre a 2 m/s di corrente allora sarebbe come dici tu...
Avevo pensato a questo, ma allora scrivere la velocità della barca lungo x in questo modo:
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.
Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?
è sbagliato?Rigel ha scritto:$ v_o\sin\alpha-v_m+k|y| $
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.
Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?
Si, penso che in quel punto sia come dici tu e con quel tipo di equazione trovi la velocità della barca in funzione di dove si trova rispetto al centro del fiume...ico1989 ha scritto:Avevo pensato a questo, ma allora scrivere la velocità della barca lungo x in questo modo:è sbagliato?Rigel ha scritto:$ v_o\sin\alpha-v_m+k|y| $
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.
Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?