concorrenza e bisettrici ---> conica (Own)

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In un triangolo ABC, AX'', BY'', CZ'' concorrono in P. La bisettrice di $ \angle AX''C $ incontra AC in $ Y $, quella di $ \angle AX''B $ incontra AB in $ Z' $, quella di $ \angle BY''A $ incontra AB in $ Z $, quella di $ \angle BY''C $ incontra BC in $ X' $, quella di $ \angle CZ''B $ incontra BC in $ X $, quella di $ \angle CZ''A $ incontra AC in $ Y' $.

Dimostrare che $ X $, $ X' $, $ Y $, $ Y' $, $ Z $ e $ Z' $ stanno su una conica.

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uppino...forza forza...it's very simple...

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Teorema di Carnot

se una conica interseca BC in X e X', CA in Y e Y' e AB in Z e Z' allora

$ \boxed{\displaystyle \frac{BX}{XC} \cdot \frac{BX'}{X'C} \cdot \frac{CY}{YA} \cdot \frac{CY'}{Y'A} \cdot \frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{AZ'}{Z'B}=1} $

e viceversa se vale la relazione allora i sei punti stanno su una conica


Dimostrazione:

utilizzanto il teorema della bisettrice e il teorema di ceva otteniamo:

$ \displaystyle \frac{BX}{XC} \cdot \frac{BX'}{X'C} \cdot \frac{CY}{YA} \cdot \frac{CY'}{Y'A} \cdot \frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{AZ'}{Z'B}= $$ \displaystyle \frac{BZ''}{Z''C} \cdot \frac{BY''}{Y''C} \cdot \frac{CX''}{X''A} \cdot \frac{CZ''}{Z''A} \cdot \frac{AY''}{Y''B} \cdot \frac{AX''}{X''B}= $$ \displaystyle \frac{BZ''}{Z''A} \cdot \frac{AY''}{Y''C} \cdot \frac{CX''}{X''B} =1 $

Quindi per il Teorema di Carnot $ X $, $ X' $, $ Y $, $ Y' $, $ Z $ e $ Z' $ stanno sulla stessa conica.


Rilancio: chiamiamo $ A_1 : ZY'' \cap Y'Z'' $, $ B_1 : XZ'' \cap Z'X'' $ e $ C_1 : YX'' \cap X'Y'' $. Dimostrare che $ AA_1 $, $ BB_1 $ e $ CC_1 $ concorrono.


p.s. questo è il mio 500-esimo messaggio

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uncora qualche rilancio:

chiamiamo $ A_2 : X''A_1 \cap Y''Z'' $, $ B_2 : Y''B_1 \cap Z''X'' $, $ C_2 : Z''C_1 \cap X''Y'' $, $ X_1 : XZ'' \cap YX'' $, $ X_1' : X''Z' \cap Y''X' $, $ Y_1 : YX'' \cap ZY'' $, $ Y_1' : Y''X' \cap Z''Y' $, $ Z_1 : ZY'' \cap XZ'' $, $ Z_1' : Z''Y' \cap x''Z' $.

1) Dimostrare che $ X_1 $, $ X_1' $, $ Y_1 $, $ Y_1' $, $ Z_1 $, $ Z_1' $ stanno su una conica
2) Dimostrare che $ A_1X'' $, $ B_1Y'' $, $ C_1Z'' $ concorrono
3) Dimostrare che $ AA_2 $, $ BB_2 $, $ CC_2 $ concorrono in un punto che chiamiamo R.
4) Dimostrare che P, Q, R sono allineati.

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mi è venuto in mente anche quest'altro:

Chiamiamo A'B'C' il triangolo anticeviano di ABC rispetto a P (con A',P,A allineati ecc.). Allora le bisettrici che intersecavano BC X e X' intersecano B'C' in $ X_0 $ e $ X'_0 $ e ugualmente si ottengono $ Y_0, \ Y'_0, \ Z_0 , \ Z'_0 $

Dimostrare che $ X_0, \ X'_0, \ Y_0, \ Y'_0, \ Z_0 , \ Z'_0 $ stanno sulla stessa conica.

[mitchan88]

Benvenuti nel blog di Gabriel! XD