Quadrati in griglia

[Francutio]

Ciao...è il primo problema che posto quindi potrebbe fare schifo come impostazione, non abbiatemene

1) Si consideri una griglia di lato 100 (se volete un esempio di griglia guardate qui...http://www.dis.uniroma1.it/~demetres/di ... riglia.gif). quanti sono in totale i quadrati di lato 1 o 2 o 3 o 4 o 5 che possono essere disegnati nella griglia tenendo conto che i vertici dei quadrati devono coincidere con i bollini della griglia.

2) Supponiamo di avere una griglia di lato $ n $. Quanti quadrati di lato$ 1, 2, 3, 4... ...k $ possiamo costruire tenendo conto che i vertici dei quadrati devono coincidere con i bollini della griglia.?


Per bollini della griglia intendo le intersezioni presenti nella griglia...spero di essere stato chiaro...
tanto per intenderci...quello segnato è un bollino http://www.fondazionemacula.it/grafica/amsler.gif


La prima parte è semplice, la seconda non saprei come farla, per le mie capacità c'è un ostacolo insormontabile, ma magari per voi è una bazzeccola trovare una formula generale...



ah...il problema prende ispirazione da uno proposto dai ragazzi dell'Uni di Torino il 5 marzo...tanto per rispettare il copyright [/url]

[Euler]

Dell'1 penso sia 100^2+(100-1)^2+(100-2)^2+(100-3)^2+(100-4)^2=48030 quadrati
Ora provo il secondo...

[Euler]

Il secondo penso sia la sommatoria per i che va da 0 a k-1 di (n-i)^2

[Francutio]

Il mio topic riesumato dopo due anni non me lo aspettavo...



mmm, dunque....attento che il problema dice che solo i vertici devono essere su dei nodi della griglia, non che tutti i lati stiano sul reticolato...

Quindi in entrambi i casi manca tutta una serie di quadrati...

[io.gina93]

ciao francutio!!
per il rpoblema uno, mi pare che sia uno vecchio di cesenatico (il problema 4 dell'anno 2006...)
dovrebbe essere questa...
http://andfog.altervista.org/math/Cesen ... 202006.pdf

cmq vi dico che io non ci sarei mai arrivata...

[pexar94]

è molto diverso dal problema 4 del 2006...a mio parere...U_U

[io.gina93]

è molto diverso dal problema 4 del 2006...a mio parere...U_U

si hai ragione...
ho letto griglia,numeri e quadrati e ho pensato a quel problema...
Cmq proverò a pensarci... ^^

[io.gina93]

ehm... Credo di non aver capito il problema o di aver trovato una soluzione sbagliata!!! XD

cmq i bollini orizzontalmente e verticalmente sono 9.
Per i quadrati da 1 hai 9-1 possibilitä disponendoli sia in orizzontale che in verticale; in totale (9-1)^2
(che in effetti è vero perchè basta fare 100 meno i quadrati laterali che sono 36 e quindi 64).
Per quelli da lato 2 ne hai in totale (9-2)^2 e cosi via..
Quindi la risposta dovrebbe essere: 64, 49, 36, 25 e in totale 174.

[ma_go]

mah, secondo me la risposta cambia "drasticamente" (nella forma) passando da k=4 a k=5, così come da k=9 a k=10 e da k=12 a k=13...

credo che il meglio che si possa fare sia dare una stima su cosa succede per k sufficientemente grande..

[io.gina93]

ah ecco!! mi sembrava strano che rispondessi giusto!! xD
cmq io intendevo solo il primo punto del problema, invece per il secondo pare che bisogna fare tipo una sommatoria.. (io non l'ho ancora studiata e non so cosa sia...)

[Tibor Gallai]

Gina: quello che Francuzzo sta dicendo è che i quadrati possono anche non essere allineati con la griglia, purché abbiano i vertici sui bollini. Ovvero, detta senza pudore né ritegno, possono essere messi "storti" rispetto alla griglia. Quindi entrano in gioco le terne pitagoriche e il problema acquisisce un retrogusto di teoria dei numeri, come sottolinea l'intervento di ma_go.

Inoltre, nel tuo post non stai risolvendo con n=100 e k=5, ma stai di fatto risolvendo con n=8 e k=4. Comunque, se la richiesta fosse per n=8 e k=4, la tua soluzione sarebbe incidentalmente giusta, perché le rotazioni dei quadrati iniziano a produrre ulteriori configurazioni valide solo a partire da k=5.

[io.gina93]

vero!! non avevo pensato alle terne pitagoriche!! xD
grazie della svista Tibor!! =D
cmq la mia formula era giusta per i quadrati non storti Ù.Ù
[(n-1)-k]^2=numero dei quadrati di lato k non storti.

Ho pensato anche alle terne pitagoriche e ci ho ricavato poco o nulla...
So che la formula(dettami da afullo e da children =D) per trovarle(primitive e derivate) è:
a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2.
Sinceramente non ho voglia di calcolarmele tutte...

Cmq per tentativi ho scoperto che per trovare le terne PRIMITIVE il cui cateto minore è un numero dispari bisogna elevarlo alla seconda e dividerlo per 2 per poi prendere i 2 valori interi più vicini.
Esempio 13, 13*13=169; 169/2=84.5, terna: 13,84,85

invece se il cateto minore è un numero pari la formula per trovare le terne primitive e derivate (più derivate che primitive) è elevarlo al quadrato e aggiungere e togliere 1 al risultato ottenuto.
Esempio 8, 8*8=64, 64/4=16, terna: 8,15,17.

Forse ho capito come trovare solo le terne primitive se il cateto minore è pari....
Posso dividere l'insieme dei numeri pari in 2 insiemi: quelli che hanno almeno un divisore dispari (e quindi usando quella formula sarebbe stata una derivata di una terna che ha il cateto minore dispari), e quelli che sono potenze di 2.
Usando 2 ho la terna 2,0;2 che non va bene.
Usando 4 ho la terna 3,4,5
usando 8 ho la terna 8,15,17
usando 16 ho la terna 16,63,65
usando 32 ho la terna 32, 255,257
quindi per le terne primitive devo usare potenze di 2 maggiori o uguale a 8. (quella del 4 è uguale alla terna che si ricava per il catetio minore dispari...)

Cmq nonostante io abbia trovato queste formule non so come risolvere il problema...
Cioè non riesco a trovare una formula definitiva... Per esempio un quadrato di lato 25 sta dentro un quadrato di lato 25, 31(terna 7,24,25), 35(terna 15,20,25) oppure in un quadrato di lato 49 ci sta un quadrato di lato 49, 35(terna 21;28;35), 41(9;40;41).

Credo che bisogna calcolarsi tutte le terne primitive e derivate, trovare i quadrati storti, e sommarli a quelli dritti...
P.s. Non so se esistono altre terne pitagoriche primitive... spero di no!!

[Francutio]

Uh! Alla fine ho fatto scrivere a Gina un romanzo

In effetti le parole di ma_go, confermate poi da Tibor, quindi cioè boh, legge ormai mi riportano all'ostacolo insormontabile che citavo 26 mesi e 2 giorni fa, che era proprio quello di far stare insieme tutte quelle stupide terne pitagoriche.

Bè, in pratica è irrisolvibile in generale, come ormai sospettavo...poco male Gina, almeno è servito a farti fare qualche ragionamento sulle terne pitagoriche.

[io.gina93]

non credo che sia irrisolvibile, semplicemente dati k e n non si puo ricavare una formula per calcolare tutti i quadrati in questa griglia...

se le mie formule (trovate per tentativi) per trovare tutte le terne pitagoriche primitive sono giuste (per ora funzionano, anche se non so perchè) è semplice risolvere il problema: trovi tutte le terne pitagoriche primitive e derivate tale che la somma dei cateti siano minori di n-1, e ipotemusa minore uguale a k

per esempio in una griglia di lato n=32 ti calcoli i possibili quadrati regolari il cui lato misura da 1 a k=27:
[(32-1)-1]^2+(31-2)^2+(31-3)^2........ +(31-27)^2

p.s. 31 perchè bisogna ricordarsi dei bolli...

e poi aggiungi quelli storti(l'ipotemusa non deve superare k, e la somma dei cateti dev'essere minore uguale di n-1 sempre per via dei bolli...):
-lato=5, terna 3,4,5, questo quadrato sta dentro un quadrato di lato (3+4=)7
quindi i quadrati storti di lato 5 sono (31-7)^2 *2(perchè lo puoi mettere in 2 modi differenti, senza disegno forse è difficile spiegare/capire ma ci provo lo stesso. Metto il quadrato storto di lato 5 in un piano cartesiano di cui 2 suoi vertici toccano gli assi x e y. Le cordinate dei 4 vertici possono essere (0;4);(4;7) (7;3)(3;0) oppure (0;3)(3;7)(7;4)(4;0))
-lato 10, terna 6;8;10 ===> (31-14)^2*2
-lato 13 terna 5;12;13 ===> (31-17)^2*2
-lato 17 terna 8;15;17====>(31-23)^2*2
-lato 15 terna 9;12;15===>(31-21)^2*2
-lato 25 terna 7;24;25===>(31-31)^2=1*2

alla fine sommi i quadrati dritti e quelli storti...