41 come differenza di potenze

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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angus89
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41 come differenza di potenze

Messaggio da angus89 » 09 apr 2008, 22:15

Dimostare che è impossibile scrivere 41 come
$ \displaystyle $ 41=3^{n}-2^{m} $
con n,m appartenenti a N-{0} (numeri interi positivi)
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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Sesshoumaru
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Messaggio da Sesshoumaru » 09 apr 2008, 23:50

$ 3^n-2^m = 41 $ (1)

Analizziamo mod 3

$ -(-1^m) \equiv -1 \pmod 3 \Rightarrow $ m è pari, dunque la (1) diventa

$ 3^n-2^{2m'}=41 $ (2)

Analizziamo mod 4

$ (-1^n) \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow $ n è pari, dunque la (2) diventa

$ 3^{2n'}-2^{2m'}=41 $ (3)

Ma questa è una differenza di quadrati, quindi la (3) la riscriviamo come

$ (3^{n'} + 2^{m'})(3^{n'} - 2^{m'})=41 $ (4)

Ma 41 è primo, quindi necessariamente $ 3^{n'} + 2^{m'} = 41 $ e $ 3^{n'} - 2^{m'} = 1 $ (poichè $ 3^{n'} + 2^{m'} > 3^{n'} - 2^{m'} $)
Ma la somma dei due fattori, che è $ 2 \cdot 3^{n'} $, deve allora essere uguale a 41+1 =42.

$ 2 \cdot 3^{n'} = 42 \Rightarrow 3^{n'} = 21 $, assurdo poichè non esiste nessuna potenza di 3 uguale a 21. []
[img]http://img65.imageshack.us/img65/2554/userbar459811cf0.gif[/img]

[i]"You have a problem with your brain: the left part has nothing right in it, and the right part has nothing left in it."[/i]

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matemark90
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Messaggio da matemark90 » 09 apr 2008, 23:58

Abbiamo che $ 2^m\equiv 1\pmod 3 $ perchè $ 41\equiv2 \pmod 3 $ quindi $ m $ pari. Sia $ m=2m_1 $
Allo stesso modo abbiamo che $ 3^n\equiv1 \pmod 4 $ quindi anche $ n $ pari. Sia $ n=2n_1 $
Per differenza di quadrati l'equazione diventa $ (3^{n_1}-2^{m_1})(3^{n_1}+2^{m_1})=41 $
L'equazione è verificata se e solo se il primo fattore è uguale a 1 e il secondo è uguale a 41.
Vediamo con 2 conti a mano che il secondo fattore vale 41 solo per $ n_1=2 $ e $ m_1=5 $ che sostituiti non verificano. Quindi non verifica nessuna coppia.

Edit: devo diventare più veloce ad usare il LaTeX :)
Hasta la Carla... SIEMPRE!!!
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore.

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Ponnamperuma
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Messaggio da Ponnamperuma » 10 apr 2008, 17:35

Per la cronaca, questo è un SNS già comparso in almeno due occasioni!... :wink:
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger

MIND torna!! :D

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angus89
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Messaggio da angus89 » 10 apr 2008, 19:02

Non lo sapevo...

ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...

bè vuol dire che era giusta...
bè dato che ci siamo...piccola variazione

$ \displaystyle 41=2^{n}-3^{m} $
dimostrare la stessa cosa...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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Sesshoumaru
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Messaggio da Sesshoumaru » 10 apr 2008, 21:01

angus89 ha scritto:Non lo sapevo...

ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...

bè vuol dire che era giusta...
:D

[edit, cavolata]
[img]http://img65.imageshack.us/img65/2554/userbar459811cf0.gif[/img]

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julio14
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Messaggio da julio14 » 10 apr 2008, 22:19

Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

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angus89
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Messaggio da angus89 » 10 apr 2008, 22:21

julio14 ha scritto:Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.

Right!
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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