massimo numero che divide ...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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angus89
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massimo numero che divide ...

Messaggio da angus89 » 13 apr 2008, 16:25

Trovare il massimo numero intero positivo che divide tutti i numeri della forma
$ \displaystyle $ n^{7}+n^{6}-n^{5}-n^{4} $

Non sforzatevi troppo perchè la soluzione è davvero semplice, è il classico esercizio proposto nelle videolezioni del Training Olimpico di Massimo Gobbino

Visto che son sicuro che qualcuno lo specificherà...si è un sns, precisamente '83/'84
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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mod_2
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Re: massimo numero che divide ...

Messaggio da mod_2 » 13 apr 2008, 18:01

ci provo

$ \displaystyle $ n^{7}+n^{6}-n^{5}-n^{4} $

Scompongo e ottengo
$ $n^4(n^3+n^2-n-1) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $

faccio i casi piccoli, sostituendo l'n, per vedere cosa succede:
n=0 banalmente è uguale a 0
n=1 $ $1 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (-2)=0 $
n=2 $ $16 \cdot 3 \cdot(-1)\cdot(-3)=2^4\cdot3^2 $
n=3 $ $3^4\cdot2^2\cdot2\cdot2^2=3^4\cdot2^5 $
n=4 $ $2^8\cdot5\cdot(-3)\cdot(-5)=2^8\cdot3\cdot5^2 $

sembra che siano tutti divisibili per $ 2^4\cdot3 $ vediamo cosa succede in modulo 3

$ $n \equiv 0 (3) $
banalmente $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è divisibile per 9 e anche per 3

$ $n \equiv 1 (3) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1\cdot2\cdot0\cdot(-2) \equiv 0(3) $
è divisibile solo per 3

$ $n \equiv -1 (3) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (-2) \equiv 0 (3) $
e quindi per qualsiasi n $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è sempre divisibile per 3

adesso in modulo 4

$ $n \equiv 0 (4) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è sempre divisibile per 16

$ $n \equiv 1 (4) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (-2) \equiv 0 (4) $
notiamo che oltre allo 0 i due 2 moltiplicati fra di loro danno un altro multiplo di 4 e quindi anche in questo caso è divisibile per 16

$ $n \equiv 2 (4) $
anche in questo caso $ $n^4 $ è già un multiplo di 16 perchè n è pari

$ $n \equiv -1 (4) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1 \cdot 0 \cdot 2 \cdot (-2) \equiv 0 (4) $
per il motivo spiegato al $ n \equiv 1 (4) $ anche in questo caso $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è divisibile per 16

e quindi $ $2^4\cdot3 $ divide tutti i numeri della forma $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $
Appassionatamente BTA 197!

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angus89
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Messaggio da angus89 » 13 apr 2008, 18:08

Giusto...
Io invece mi son scomposto tutto con ruffini (come hai fatto tu)
E da lì mi son calcolato per n=2, cioè 144
A quel punto ho scomposto 144 e ho trovato i fattori che dividono tutti i numeri in quella forma con osservazioni veloci...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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