esercizio di ammissione alla scuola s.anna

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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logARAS^5
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esercizio di ammissione alla scuola s.anna

Messaggio da logARAS^5 » 20 mag 2008, 15:51

Qualcuno potrebbe illuminarmi con la soluzione di questo esercizio:
x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006 trovare tutte le coppie di interi positivi x,y ???
GRAZIE!!!! (è una questione importantissima! :shock: )

alexba91
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Re: esercizio di ammissione alla scuola s.anna

Messaggio da alexba91 » 20 mag 2008, 16:22

logARAS^5 ha scritto:Qualcuno potrebbe illuminarmi con la soluzione di questo esercizio:
x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006 trovare tutte le coppie di interi positivi x,y ???
GRAZIE!!!! (è una questione importantissima! :shock: )
mentre provavo a fre questo esercizio mi sono accorto che arrivavo ad un punto e non potevo piu continuare, secondo voi dovv è che sbaglio?
io ho fatto questo ragionamento.

$ x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006 $
da cio si ricava che
$ x^4 \equiv 0 \pmod 3 $ quindi x è dispari
ora ragioniamo $ \pmod 8 $ sappiamo che $ x^4 e x^2 \equiv 1 \pmod 8 $
quindi ora vediamo 2 casi, cioe se y è dispari o pari.
se y è dispari $ y^2 \equiv 1 \pmod 8 $
quindi RHS non è divisibile per 8
se y è pari abbiamo 2 casi $ y^2 \equiv 0 \pmod 8 e y^2 \equiv 4 \pmod 8 $

ma in entrambi i casi rhs non è divisibile per 8, dov'è che faccio l errore?

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 20 mag 2008, 16:26

@alexba91:Se $ x^4 \equiv 0 \pmod{3} $ non è detto che x sia dispari... per esempio x=6...

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 20 mag 2008, 16:42

Allora cominciamo a notare che x deve essere un multiplo di 3 perché $ $3x^2y^2 $, $ $9y^4 $ e $ $12^{2006} $ sono tutti multipli di 3; inoltre x è anche un numero pari (perché se fosse dispari $ $x^4+3x^2y^2+9y^2 $ non sarebbe mai pari per qualunque valore di y)!
Allora poniamo $ x=6x' $ e quindi
$ 1296x'^{4} + 108x'^{2}y^{2}+9y^{4}=12^{2006} $
adesso ricaviamo che $ y=2y' $ e l'equazione diventa
$ 1296x'^{4} + 432x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}=144^{1003} $
Dividendo per 144 abbiamo
$ 9x'^{4} + 3x'^{2}y'^{2}+y'^{4}=144^{1002} $
si riparte!
$ 9x'^{4} + 108x'^{2}y''^{2}+1296y''^{4}=144^{1002} $
$ 144x''^{4} + 432x''^{2}y''^{2}+1296y''^{4}=144^{1002} $
semplificando avremo di nuovo
$ x''^{4} + 3x''^{2}y''^{2}+9y'^{4}=144^{1001} $
ripetendo lo stesso procedimento per 1003 volte avremo alla fine una cosa del genere:
$ 9x_n^{4} + 3x_n^{2}y_n^{2} + y_n^{4} = 144^ {0} = 1 $
da cui
$ y_n=1, x_n=0; \Longrightarrow x=0; y=3^{1002} * 2^{2006} $

EDIT: ci ho messo troppo a scrivere e non avevo letto i vostri messaggi
Appassionatamente BTA 197!

alexba91
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Messaggio da alexba91 » 20 mag 2008, 16:59

Alex89 ha scritto:@alexba91:Se $ x^4 \equiv 0 \pmod{3} $ non è detto che x sia dispari... per esempio x=6...
:oops: mi sembrava strano!!!!!!

Stex19
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Messaggio da Stex19 » 20 mag 2008, 17:22

mod_2 ha scritto:Allora cominciamo a notare che x deve essere un multiplo di 3 perché $ $3x^2y^2 $, $ $9y^4 $ e $ $12^{2006} $ sono tutti multipli di 3; inoltre x è anche un numero pari (perché se fosse dispari $ $x^4+3x^2y^2+9y^2 $ non sarebbe mai pari per qualunque valore di y)!
Allora poniamo $ x=6x' $ e quindi
$ 1296x'^{4} + 108x'^{2}y^{2}+9y^{4}=12^{2006} $
adesso ricaviamo che $ y=2y' $ e l'equazione diventa
$ 1296x'^{4} + 432x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}=144^{1003} $
Dividendo per 144 abbiamo
$ 9x'^{4} + 3x'^{2}y'^{2}+y'^{4}=144^{1002} $
si riparte!
$ 9x'^{4} + 108x'^{2}y''^{2}+1296y''^{4}=144^{1002} $
$ 144x''^{4} + 432x''^{2}y''^{2}+1296y''^{4}=144^{1002} $
semplificando avremo di nuovo
$ x''^{4} + 3x''^{2}y''^{2}+9y'^{4}=144^{1001} $
ripetendo lo stesso procedimento per 1003 volte avremo alla fine una cosa del genere:
$ 9x_n^{4} + 3x_n^{2}y_n^{2} + y_n^{4} = 144^ {0} = 1 $
da cui
$ y_n=1, x_n=0; \Longrightarrow x=0; y=3^{1002} * 2^{2006} $

EDIT: ci ho messo troppo a scrivere e non avevo letto i vostri messaggi
ma alla fine non rimane $ 9y^4=12^{2006} $ quindi $ y=3^{501}2^{1003} $??

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 20 mag 2008, 18:31

Ah...già che è elevato alla quarta e non alla seconda...
Tra altro mi sono accorto che questo era uno dei primi problemi che ho affrontato sul forum...
viewtopic.php?p=74567&highlight=#74567
E guarda caso anche lì avevo fatto un errore...
Appassionatamente BTA 197!

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 21 mag 2008, 15:16

oppure....

aggiungiamo un $ +-3x^2y^2 $ al primo membro. Otteniamo
$ (x^2+3y^2)^2-3x^2y^2=12^{2006} $, da cui $ (x^2+3y^2)^2-4x^2y^2+x^2y^2=12^{2006} $. Facciamo differenza di quadrati al primo membro ottenendo $ (x^2+3y^2+2xy)(x^2+3y^2-2xy)+x^2y^2=12^{2006} $. Spostiamo $ x^2y^2 $ al secondo membro e facciamo differenza di quadrati. Otteniamo
$ (x^2+3y^2+xy+xy)(x^2+3y^2-xy-xy) $$ =(12^{1003}+xy)(12^{1003}-xy) $. Da questa espressione vediamo che $ x^2+3y^2+xy $ e $ x^2+3y^2-xy $ devono essere entrambi uguali a $ 12^{1003} $. Questo è possibile per $ xy=0 $, quindi almeno uno fra x e y dev'essere uguale a 0. Ponendo $ x=0 $ nell'espressione iniziale abbiamo $ 9y^4=12^{2006} $==>$ y^4=2^{4012}*3^{2004} $ e quindi $ y=2^{1003}*3^{501} $. Per $ x=0 $ analogo procedimento e otteniamo $ x^4=2^{4012}*3^{2006} $ che è impossibile perchè $ 3^{2006} $ non è una quarta potenza perfetta. Per $ x=y=0 $ avremmo una potenza di 12 uguale a 0, assurdo
marco

logARAS^5
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Messaggio da logARAS^5 » 25 mag 2008, 12:05

Grazie 1000!!! Penso che quest'estate proverò il test di ammissione a ingegneria per il Sant'Anna, ma a volte mi perdo in un bicchiere d'acqua...

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