M-Disuguaglianza @ SNS - 2002-2003

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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EUCLA
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M-Disuguaglianza @ SNS - 2002-2003

Messaggio da EUCLA » 14 lug 2008, 16:23

Determinare la più grande costante $ M $ tale che

$ (a+b+c+d)^2\ge M(ab+bc+cd) $

qualunque siano $ a,b,c,d \in \mathbb{R} $ e $ a,b,c,d\ge 0 $

Per tale valore di $ M $ determinare per quali numeri $ a,b,c,d $ si ottiene un'uguaglianza.

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exodd
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Messaggio da exodd » 14 lug 2008, 17:04

scegli intanto il dominio di M :wink:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 14 lug 2008, 17:09

Io ho riportato il testo, quindi se hai una dimostrazione che crea problemi di dominio vedremo dopo :wink:

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julio14
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Messaggio da julio14 » 14 lug 2008, 17:20

è un po' difficile parlare di disuguaglianze nei complessi senza tirare in ballo norme et similia, e raramente ho visto una disuguaglianza su interi o razionali. :wink:

p.s. :wink: :wink: :wink:

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 14 lug 2008, 18:02

julio14 ha scritto:è un po' difficile parlare di disuguaglianze nei complessi senza tirare in ballo norme et similia, e raramente ho visto una disuguaglianza su interi o razionali. :wink:

p.s. :wink: :wink: :wink:
anche perchè il campo complesso non gode di relazione d'ordine
e la norma di un numero complesso è ancora un numero reale

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 14 lug 2008, 18:09

Calmi, prima di farsi seghe mentali su come deve essere sto $ M $ diciamo pure che sta in $ \mathbb{R} $. Ora va bene? Si, va bene e risolvete il problema, su.

matteo16
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Messaggio da matteo16 » 14 lug 2008, 18:13

EUCLA ha scritto:Calmi, prima di farsi seghe mentali su come deve essere sto $ M $ diciamo pure che sta in $ \mathbb{R} $. Ora va bene? Si, va bene e risolvete il problema, su.
sì ma era quello che sostenevamo non ci facevamo mica seghe mentali.

per la risoluzione...mi verrebbe da dire che c'entra qualcosa con il riarrangiamento, però non ho studiato bene l'argomento quindi non posso esserne sicuro e risolvere il problema ragionando proprio su quello. quindi dovrò cercare un'altra strada

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Ani-sama
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Messaggio da Ani-sama » 16 lug 2008, 12:27

:shock:

È uscito anche qui. E questa sarebbe la mia soluzione.

EDIT
Metto la soluzione anche qui per esteso. Le lettere a,b,c,d sono sostituite da x,y,z,q, me la perdonerete spero. :)

Io direi $ m=4 $.

Ponendo $ m=4 $, la disuguaglianza è vera. Volendo verificarla, essa (dopo qualche calcolo) si riscrive come:

$ x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz + 2xq -2yz + 2yq -2zq \geq 0 $

Ma per ipotesi quei numeri sono positivi, allora:

$ x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz + 2xq -2yz + 2yq -2zq $ $ = x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz +(- 2xq +4xq) -2yz + 2yq -2zq $ $ = {(x-y+z-q)}^2 + 4xq \geq 0 $. Ok dunque.

Per vedere che $ 4 $ è effettivamente la "migliore", basta mostrare che, se $ m > 4 $, allora esistono $ x,y,z,q \geq 0 $ tali che la disuguaglianza non è verificata, cioè è verificata la disuguaglianza opposta. Ma basta scegliere $ x=y=1, z=q=0 $; in tal caso:

$ {(x+y+z+q)}^2 = 4 < m = m(xy+yz+zq) $, come volevamo.

Si capisce poi senza troppi patemi che l'uguaglianza si ha se e solo se $ x=y, z=q=0 $, essendo quei numeri tutti non negativi.
Ultima modifica di Ani-sama il 22 lug 2008, 11:32, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da flexwifi » 16 lug 2008, 13:54

In realta' era uscito anche qui :wink:

Bye

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Messaggio da mitchan88 » 16 lug 2008, 19:19

L'anno scorso al test della galileiana c'era da dimostrare più in generale che
$ \displaystyle (\sum_{i=1}^n x_i)^2\geq 4\sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} $
per ogni $ n\in \mathbb{N}, x_1,\dots x_n \geq 0 $
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 16 lug 2008, 20:10

Uh, risolviamola vai :D

Direi innanzitutto che $ n>1 $ perchè $ n=1, x=1 $ contraddicono la tesi.

$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\bigg)^2\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $

Per AM-QM:

$ \displaystyle \frac{(x_1+x_2)+(x_3+x_4)+\cdots +(x_{n-1}+x_n)}{\frac{n}{2}}\ge $ $ \displaystyle \sqrt{\frac{(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2}{\frac{n}{2}} $

Dunque, riprendendo la disuguaglianza iniziale: $ LHS\ge \displaystyle \frac{n}{2}\cdot \big[(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2\big] $

Rimane $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \stackrel{\big{?}}{\ge} 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $

che è vera perchè si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \ge \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} \ \ (*) $

cioè $ \displaystyle \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n-1}(x_i-x_{i+1})^2\ge 0 $

e ritornando alla $ (*) $, per $ n>1 $ si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $.

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 16 lug 2008, 20:20

come mai hai supposto ke n sia pari?
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Messaggio da EUCLA » 16 lug 2008, 20:48

Eh già bella domanda :roll:

Non l'ho supposto, l'ho proprio dato per certo :oops:

edit: è del tutto sbagliata poi, l'errore più grave è anche aver frainteso il RHS :?

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Ani-sama
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Per quella generalizzazione

Messaggio da Ani-sama » 22 lug 2008, 11:16

Alla fine mi sembra che possa funzionare il metodo usato per la "versione base". Per esempio, valutando $ {\left[x_1-x_2+\cdots +{(-1)}^{n+1} x_n\right]}^2 $...
...

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