Gravità, secondo round (SNS 2005-2006)

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atat1tata
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Gravità, secondo round (SNS 2005-2006)

Messaggio da atat1tata » 19 apr 2009, 22:49

Ragazzi, vi posto un problema che mi spacco la testa inutilmente a cercare di risolvere, da giorni e giorni... :(, mi immagino un corpo che cade in una sorta di imbuto di energia potenziale (che tende a meno infinito) ma non riesco a calcolare il tempo che ci impiega. Ho provato a immaginare il moto come una sorta di ellisse molto schiacciato, ma non mi è stato utile (a proposito avete mai notato che un ellisse, quando il semiasse minore tende a zero, tende a diventare un segmento ma l'equazione con $ b=0 $ dà i due soli estremi?).

Un punto materiale, soggetto solo alla forza gravitazionale, orbita attorno ad un oggetto massivo (ossia di massa molto superiore a quella del punto materiale), inizialmente su un’orbita circolare, con periodo $ T $. Esso viene improvvisamente arrestato nel suo moto, e lasciato cadere verso la particella massiva. Dimostrate che il tempo necessario per la collisione è $ \tau = T /(4\sqrt{2}) $.

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Messaggio da SkZ » 19 apr 2009, 23:23

$ $\ddot{r}=-\frac{GM}{r^2} $
$ $\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{r_0} $
e integri r da $ ~r_0 $ a $ ~R $ raggio dell'oggetto
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Messaggio da atat1tata » 19 apr 2009, 23:36

SkZ ha scritto:$ $\ddot{r}=-\frac{GM}{r^2} $
$ $\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{r_0} $
e integri r da $ ~r_0 $ a $ ~R $ raggio dell'oggetto
Non ho capito bene, cioè da $ $\frac{1}{2}\dot{r}^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{r_0} $ dovrei fare tipo $ $\frac{1}{2}(\frac{dr}{dt})^2-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{r_0} $ e lavorare sui differenziali? E come uso la seconda equazione? (purtroppo non sono ferrato sugli integrali :oops: )
Ma il problema è anche che $ R $ non è dato, quindi lo immaginerei uguale a 0. È possibile integrare questa cosa fino a $ R=0 $?

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Messaggio da SkZ » 19 apr 2009, 23:59

1) essendo un SNS ho supposto conosciuto gli integrali.
Non so se l'integrale e ' finito fino a 0. non l'ho calcolato.


la prima eq serve a niente, ma l'avevo gia' scritta :P

cmq guarda qui
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Salvo1991
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Messaggio da Salvo1991 » 21 apr 2009, 21:35

potresti postare la soluzione con l'integrale?
grazie in anticipo
ci sto ancora pensando alla firma...

atat1tata
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Messaggio da atat1tata » 22 apr 2009, 15:08

SkZ ha scritto:1) essendo un SNS ho supposto conosciuto gli integrali.
Non so se l'integrale e ' finito fino a 0. non l'ho calcolato.


la prima eq serve a niente, ma l'avevo gia' scritta :P

cmq guarda qui
viewtopic.php?t=12687
Anch'io avevo notato che col metodo dell'ellisse allungato si otteneva la risposta voluta, ma c'è un problema: un corpo materiale reale arrivato presso il corpo massivo ruoterebbe con una velocità altissima attorno a lui e tornerebbe indietro, per compiere appunto un'orbita ellittica. Tuttavia la situazione qui è idealizzata e si parla di punto materiale senza alcuna velocità iniziale. La traiettoria è quindi rettilinea e non è possibile alcuna rotazione (sia perché la forza è perfettamente simmetrica, sia perché si sta parlando di un corpo senza estensione). La velocità a cui giungerebbe il punto tende all'infinito con il diminuire della distanza e quando viene raggiunto il corpo massivo la velocità non è definibile. La situazione non mi sembra fisica, in quanto un corpo deve avere una velocità definita.

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Messaggio da Salvo1991 » 22 apr 2009, 16:06

E' giusto che ti venga velocità infinita, poichè i due corpi si trovano a essere a distanza zero, il motivo per cui non è una situazione fisica reale è che i corpi massivi hanno sempre estensione, cosicchè non ne trovi mai due a distanza zero.

Sono sicuro che la soluzione del barbatrucco sia accettabile, il semiperiodo dell'orbita ellittica è assimilabile al tempo di caduta libera.

Per risolverlo in maniera molto più fica devi usare il calcolo integrale, non ci riesco proprio perchè non lo padroneggio ancora, comunque ti viene una equazione differenziale strana ma risolvibile.

La cosa bella di questo esercizio è che la forza e quindi l'accelerazione non è costante, e per di più non dipende dal tempo ma dallo spazio.
Hai presente la legge oraria? Quella per il moto rettilineo unif. accelerato è 1/2 at^2+vt + s0, se conosci un pò di analisi è interessante vedere come essa sia formata da tre pezzi (i tre addendi) che si aggiungono uno dopo l'altro; partendo dal più semplice, s0, che descrive un moto a v costante, ci aggiungi sempre più cose, mano a mano che hai nuove derivate... Cosi ti ritrovi ad avere vt e 1/2at^2.
In questo esercizio a questa legge oraria devi aggiungere un altro pezzetto, che ti rappresenta l'aumento della forza.
ci sto ancora pensando alla firma...

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Messaggio da CoNVeRGe. » 23 apr 2009, 16:44

Salvo1991 ha scritto:potresti postare la soluzione con l'integrale?
grazie in anticipo
Dalla conservazione dell'energia:
$ \displaystyle v (s) = \sqrt{ 2GM \frac{r - s}{sr} } $
con $ \displaystyle s $ la distanza dal corpo massivo ed $ \displaystyle r $ il raggio dell'orbita precedente.

$ \displaystyle dt = \frac{1}{v(s)} ds \Rightarrow \tau = \int_0 ^ \tau dt = \int_r ^R \frac{1}{v(s)} ds = \sqrt{r/2GM} \int_r ^R \sqrt{ \frac{s}{r-s} } ds $
$ \displaystyle R $ è il raggio dell'oggetto massivo.

Vedendo l'integrale su internet (li ho appena iniziati e questo non ho idea di come si faccia!):
$ \displaystyle \int_r ^R \sqrt{ \frac{s}{r-s} } ds = r \arctan \sqrt{ \frac{s}{r-s} } - \sqrt{(r-s)s} $

e con l'approssimazione $ \displaystyle R = 0 $ otteniamo il risultato richiesto.



Certo che con il metodo dell'ellisse è una cavolata.. ad averle certe idee al test.. :roll:

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Messaggio da SkZ » 23 apr 2009, 20:15

CoNVeRGe. ha scritto:Vedendo l'integrale su internet (li ho appena iniziati e questo non ho idea di come si faccia!)
1) si nota: hai posto (integrale definito)=(integrale indefinito)
$ $ \int_r ^R \sqrt{ \frac{s}{r-s} } ds = \left. r \arctan \sqrt{ \frac{s}{r-s} } - \sqrt{(r-s)s} \right|_r^R=r \arctan \sqrt{ \frac{R}{r-R} } - \sqrt{(r-R)R}-\frac{\pi r}{2} $
(tecnicamente si ha $ ~r-\epsilon $ come estremo)
e manca un meno: la velocita' e' opposta al versore del raggio.

2) non penserai mica che si conosca tutti gli integrali a memoria? ci sono i programmi tipo mathematica o libri di integrali (io ne ho uno con 400 pag di integrali indefiniti svolti)
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Messaggio da CoNVeRGe. » 23 apr 2009, 20:43

1)Volevo scrivere la formula indefinita ma facendo copia e incolla per risparmiare tempo mi son portato appresso tutto quanto.
Il meno l'avevo corretto scegliendo $ - \pi / 2 $ come soluzione dell 'arctng' senza che mi saltasse in mente che c'era un errore precedente...

2)Si ma dell'esistenza di programmi e libri non te ne fai nulla al test :lol:
Magari tra un paio di giorni quell'integrale lo saprò pure fare.

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Messaggio da SkZ » 23 apr 2009, 23:44

tesoro mio, quando il gioco si fa duro....
i furbi cambiano strada! :wink:

se ti ritrovi con un integrale impestato (e quello non e' di certo semplice), vuol dire che ti stai per impantanare. :D
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