SNS 1991-1992 es. 6

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kn
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SNS 1991-1992 es. 6

Messaggio da kn » 24 mag 2009, 23:03

Ci si propone di congiungere con una strada due località A e B che distano 4 km, fra le quali si trova una zona Z costituita da terreno pietroso ed avente la forma di un cerchio con centro nel punto medio di AB e raggio di 1 km.

(a) Sapendo che, a parità di lunghezza, il costo di costruzione della strada nella zona pietrosa è $ ~\lambda $ volte ($ ~\lambda $ numero reale maggiore di 1) quello relativo alla zona circostante, determinare due punti P, Q sul bordo di Z in modo tale che il percorso APQB (vedi figura) sia il più economico possibile.

(b) Discutere poi il caso più generale in cui si considerano percorsi formati, oltre che da tratti rettilinei, anche da eventuali tratti curvilinei contenuti nel bordo di Z (dove il costo unitario di costruzione si può considerare lo stesso che nella zona esterna a Z).

Ho cercato ma non ho trovato niente. Se è già stato postato mandatemi un MP!
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Federiko
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Messaggio da Federiko » 25 mag 2009, 17:17

Carino questo problema! A me è venuto subito in trigonometria..
Posterò la dimostrazione dopo che avrò ragionato un po' anche sulla seconda richiesta..
Ultima modifica di Federiko il 25 mag 2009, 18:10, modificato 1 volta in totale.
CUCCIOLO

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kn
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Messaggio da kn » 25 mag 2009, 17:21

Coraggio! La seconda parte è stupenda! :D
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 25 mag 2009, 19:03

Ma esiste una soluzione non analitica? :shock:
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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kn
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Messaggio da kn » 25 mag 2009, 20:47

Cosa intendi per "analitica"? Intendi anche una soluzione con un po' di trigonometria :?:
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drago90
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Messaggio da drago90 » 25 mag 2009, 21:24

mmm....trigonometria e derivate??

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 26 mag 2009, 01:45

Appunto, derivate. Io non ci riesco, senza. Ma il problema si trova in problem solving olimpico, quindi assumo che l'OP sappia risolverlo senza analisi.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Alex90
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Messaggio da Alex90 » 26 mag 2009, 13:35

Domanda: Chi è l'OP?
Comunque dato che il problema è un SNS mi sembra plausibile che ci siano di mezzo le derivate...anch'io so farlo solo così...

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Federiko
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Messaggio da Federiko » 26 mag 2009, 15:25

..ehm..anche io ho usato le derivate.. perché era il modo migliore per trovare il minimo di $ \sqrt{5-4x}+\lambda x $ dove $ x=\cos \hat{AOP} $ ..
CUCCIOLO

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 26 mag 2009, 15:40

Alex90 ha scritto:Domanda: Chi è l'OP?
Comunque dato che il problema è un SNS mi sembra plausibile che ci siano di mezzo le derivate...anch'io so farlo solo così...
L'OP è kn.
Il punto non è che il problema è un SNS, ma che si trova in problem solving olimpico.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Messaggio da kn » 26 mag 2009, 16:15

Io ho aggirato il problema del minimo ponendo $ \displaystyle~x=1-\frac{\tan^2(x)}{4} $ :lol: (la x è quella di Federiko...).
Posso fare questa sostituzione dato che è $ \displaystyle~\frac{1}{2}\le x\le 1 $ ($ \displaystyle~x=\frac{1}{2} $ quando AP e BQ sono tangenti).
Con qualche passaggio algebrico si trova che il minimo si ottiene con uno dei due estremi ($ \displaystyle~\frac{1}{2} $ e 1) :twisted:
Qualcuno sa com'è la soluzione ufficiale?
@Tibor: cosa significa OP?
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 26 mag 2009, 16:47

Ok ottimo, era quello che volevo. :D

OP significa Original Poster. Uh, significa anche OverPowered, ma non intendevo questo.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Messaggio da kn » 26 mag 2009, 18:49

Tibor Gallai ha scritto:Uh, significa anche OverPowered, ma non intendevo questo.
Non ti smentisci mai :wink: :evil:
Piccolo refuso: intendevo dire $ \displaystyle~x=1-\frac{\tan^2(u)}{4} $ :oops:

Battuto Alex90 per 21 secondi :shock:
Ultima modifica di kn il 26 mag 2009, 18:52, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da Alex90 » 26 mag 2009, 18:49

Tibor Gallai ha scritto:
Alex90 ha scritto:Domanda: Chi è l'OP?
OP significa Original Poster
Questo volevo sapere :D

didudo
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Messaggio da didudo » 27 mag 2009, 13:33

secondo me intanto si vede che la strada da fare è simmetrica rispetto all'asse di AB,siccome ogni percorso non simmetrico può presentare due tratti (uno a destra di dell'asse AB e uno alla sinistra)che possono avere costi diversi,e in quel caso il tratto a costo maggiore sarà sostituito da quello a costo minore,oppure se i costi dei due tratti sono uguali si può comunque sostituire un semipercorso con l'altro,senza modificare il costo totale,e creare un pèercorso simmetrico rispetto all'asse di AB.inoltre il percorso nella zona pietrosa è perpendicolare all'asse.quindi basta calcolare il percorso minimo necessario a raggiungere un qualsiasi punto dell'asse di AB.ho detto delle cose ovvie??
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

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