Polinomi ciclotomici

[jordan]

Si definisce $ n $-esimo polinomio ciclotomico $ \phi_n(x) $ il polinomio che ha tutte e sole le radici primitive dell'unità, cioè:
$ \displaystyle \phi_n(x) := \prod_{\zeta^n=1, ord(\zeta)=n}{(x-\zeta)} $.

1) Dato $ n \in \mathbb{N}_0 $ vale $ \displaystyle x^n-1=\prod_{d \mid n}{\phi_d(x)} $.

2) Dedurre che $ n=\sum_{d \mid n}{\varphi(d)} $, dove $ \varphi(\cdot) $ denota l'indicatore di Eulero.

3) Sia $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato. Mostrare che $ \phi_n(x) \in \mathbb{Z}[x] $.

4) Dato $ n \in \mathbb{N}_0 $ vale $ \displaystyle \phi_n(x)=\prod_{d \mid n}{(x^{\frac{n}{d}}-1)^{\mu(d)}} $, dove $ \mu(\cdot) $ denota la funzione di Moebius.

5) Sia $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato. Mostrare che $ \phi_n(x) $ è irriducibile in $ \mathbb{Q}[x] $

6) Sia $ (p,n) \in \mathbb{P} \times \mathbb{N}_0 $ fissato. Mostrare che $ \displaystyle \phi_{pn}(x)=\phi_n(x^p) $ se $ p \mid n $ e che $ \displaystyle \phi_{pn}(x)=\frac{\phi_n(x^p)}{\phi_n(x)} $ se $ p \nmid n $.

7) Sia $ (n,x_0) \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{Z} $ fissato. Mostrare che se $ p \in \mathbb{P} $ soddisfa $ p \mid \phi_n(x_0) $ allora $ p \mid n $ oppure $ n \mid p-1 $.

8 ) Sia $ (a,b) \in \mathbb{N}_0^2 $ fissato, tale che $ (\phi_a(x),\phi_b(x))>1 $. Mostrare che $ \frac{a}{b} $ è della forma $ p^k $ per qualche $ p \in \mathbb{P} $ e qualche $ k \in \mathbb{Z} $.

9) Sia $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato. Mostrare che esistono infiniti $ p \in \mathbb{P} $ tali che $ n \mid p-1 $. (Per un bound sul più piccolo di essi vedi qui)

10) (Gauss) Sia $ n \in \mathbb{N} $ fissato tale che $ 2 \mid n-1 $ e $ \upsilon_p(n) \le 1 $ per ogni $ p \in \mathbb{P} $. Mostrare che esistono due polinomi $ A(x),B(x) \in \mathbb{Z}[x] $ tali che $ 4\phi_n(x)=A^2(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}n B^2(x) $.

11) (Lucas) Sia $ n \in \mathbb{N} $ fissato tale che $ 2 \mid n-1 $ e $ \upsilon_p(n) \le 1 $ per ogni $ p \in \mathbb{P} $. Mostrare che esistono due polinomi $ A(x),B(x) \in \mathbb{Z}[x] $ tali che $ \phi_n(x)=A^2(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nx B^2(x) $.

12) Sia $ (p,q,r) \in \mathbb{P}^3 $ fissato tali che $ 2<p<q $. Mostrare che $ \phi_{pq}(x) $ è riducibile in $ \mathbb{Z}/r\mathbb{Z} $.

13) Sia $ (p,n) \in \mathbb{P} \times \mathbb{N}_0 $ fissato tale che $ p \nmid n $; definiamo $ o_n(p) $ l'ordine di $ p \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* $. Mostrare che $ \phi_n(x) $ si fattorizza in $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ in polinomi irriducibili di grado $ o_n(p) $.

14) Sia $ (a,b,p) \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0 \times \mathbb{P} $ fissato tale che $ p \nmid ab $ e $ |a-b|>0 $. Mostrare che $ \phi_a(x) $ e $ \phi_b(x) $ non hanno nessun fattore in comune in $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $.

15) Sia $ n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\} $ fissato e defiamo il polinomio $ P_n(x):=\phi_n(x)-(x-1)^{\varphi(n)} $. Mostrare che se $ \zeta \in \mathbb{C} $ è tale che $ \zeta^n=1 $ allora $ \zeta^6=1 $.

16) Sia $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato. Mostrare che esistono infiniti $ p \in \mathbb{P} $ tali che $ n \mid p+1 $.

17) Mostrare che la derivata di $ \phi_p(x) $ è irriducibile in $ \mathbb{Q}[x] $ per ogni $ p \in \mathbb{P} $.

18 ) Sia $ (n,x) \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{R} $ fissato tale che $ x \ge 2 $. Mostrare che se $ \displaystyle \frac{\phi_n(x)}{x-1} \in \mathbb{Z} $ allora $ n=1 $.

19) Sia $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato, e detti $ a_1,a_2,...,a_{\varphi(n)} $ i coefficienti interi (vedi quesito 3) di $ \phi_n(x) $, definiamo $ h(n):=\max\{|a_1|,|a_2|,...,|a_{\varphi(n)}|\} $. Mostrare che per ogni $ m \in \mathbb{N}_0 $ esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ h(n)>m $.

[Enrico Leon]

20) Mostrare che Jordan si è dannato l'anima a scrivere questo post...

[stefanos]

Sei sicuro che il LHS del punto 4) non sia $ $~\phi_n(x)$ $?

[stefanos]

Up!
Anche questo e` interessante:

21) Dimostrare che il termine di grado $ $~\varphi(n) - 1$ $ (il secondo termine di grado piu` alto) ha come coefficiente $ $~-\!\!\mu(n)$ $.

PS: Seguendo la notazione precedente, $ $~\varphi(\cdot)$ $ e` il totiente, non il polinomio ciclotomico , e $ $~\mu(\cdot)$ $ e` la funzione di Möbius.

[jordan]

Up!
21) Dimostrare che il termine di grado $ $~\varphi(n) - 1$ $ (il secondo termine di grado piu` alto) ha come coefficiente $ $~-\!\!\mu(n)$ $.

Qui.

[stefanos]

Sì, mi riferivo a quel risultato
Ora l'ho messo qui, con gli altri fatterelli sui ciclotomici!