Russia MO 2000 - 22

[kn]

Il quadrilatero $ \displaystyle~ABCD $ è circoscritto a una circonferenza di centro $ \displaystyle~O $. Le rette $ \displaystyle~AB $ e $ \displaystyle~CD $ si incontrano nel punto $ \displaystyle~X $. La circonferenza inscritta di $ \displaystyle~XAD $ tange $ \displaystyle~AD $ in $ \displaystyle~L $. La circonferenza ex-scritta di $ \displaystyle~XBC $ opposta al vertice $ \displaystyle~X $ tange $ \displaystyle~BC $ in $ \displaystyle~K $. $ \displaystyle~X,K,L $ sono allineati. Mostrare che $ \displaystyle~O $ giace sulla retta che unisce i punti medi di $ \displaystyle~AD $ e di $ \displaystyle~BC $.

Bonus: Mostrare che se definiamo $ \displaystyle~X $ come l'intersezione di $ \displaystyle~AC $ e $ \displaystyle~BD $ (e quindi $ \displaystyle~AC\cap BD,K,L $ allineati) allora $ \displaystyle~AD\parallel BC $