Ciao ragazzi! Qualcuno mi potrebbe dare una definizione matematicamente precisa e rigorosa di "disuguaglianza ciclica" e "disuguaglianza simmetrica"?
Sulle schede di Gobbino ciò è spiegato quasi implicitamente, e comunque in modo molto vacillante (se ho capito bene, è, per esempio, $ \displaystyle\sum_{sym}ab = ab + bc + ac + a^2 + b^2 + c^2 $, ma allora da dove salta fuori quella $ c $? e perché non c'è nessuna $ d $ oppure $ e $? E in ogni caso resta non definito il concetto di "disuguaglianza simmetrica" ).
Le cicliche non sono nemmeno menzionate, o per lo meno non le ho trovate.
Se qualcuno mi desse una definizione rigorosa (non con esempi) di cicliche e simmetriche proverei una grande liberazione!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Uhm provo... per quello che so.
Disuguaglianza ciclica o simmetrica non l'ho mai sentita.
Sono sommatorie cicliche o simmetriche. In entrambe viene dato per scontato l'insieme delle variabili... è per quello che compaiono c ma non d.
Una sommatoria ciclica è una sommatoria che cicla le variabili:
$ $\sum_{cyc}f(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n) $
considerando gli indici modulo n allora equivale a scrivere:
$ $\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{1+i},a_{2+i},a_{3+i},\dots ,a_{n+i},) $
Un esempio è (usando come variabili a,b,c):
$ $\sum_{cyc}ab=ab+bc+ca $
Se le variabili fossero state 4 allora avrei avuto:
$ $\sum_{cyc}ab=ab+bc+cd+da $
Oppure cambiando funzione ma restando con 4 variabili:
$ $\sum_{cyc}\varphi(a)b^bc^ad^{abcd}=\varphi(a)b^bc^ad^{abcd}+\varphi(b)c^cd^ba^{abcd}+\varphi(c)d^da^cb^{abcd}+\varphi(d)a^ab^dc^{abcd} $
Le sommatorie simmetriche sono invece sommatorie che permutano le variabili:
$ $\sum_{sym}f(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n) $
Se chiamo $ $z_i:\mathbb{N}^n\to\mathbb{N}^n $ tutte le permutazioni dei primi n naturali al variare di i allora la sommatoria simmetrica equivale a:
$ $\sum_{i=1}^{n!}f(a_{z_i(1)},a_{z_i(2)},a_{z_i(3)},\dots ,a_{z_i(n)}) $
Un esempio con 3 variabili:
$ $\sum_{sym}ab=ab+ac+ba+bc+ca+cb $
Oppure cambiando funzione:
$ $\sum_{sym}a^bb^c(c!)=a^bb^c(c!)+a^cc^b(b!)+b^aa^c(c!)+b^cc^a(a!)+c^aa^b(b!)+c^bb^a(a!) $
Ti risparmio la versione con 4 variabili perchè verrebbe troppo lunga.
In generale una sommatoria ciclica in n variabili ha n addendi, una simmetrica n!.
A cosa servono ste sommatorie??? Perlopiù io le uso per svolgere calcoli... sono molto comode se si impara come usarle e facilitano mucho i calcoli grossi (moltiplicazioni in particolare).
Le sommatorie simmetriche servono anche molto nelle disuguaglianze perchè c'è un forte teorema su di loro... si chiama raggruppamento o bunching e lo puoi trovare nelle schede di gobbino ;)
Questo è tutto ciò che so...
Ultima modifica di dario2994 il 29 dic 2009, 14:05, modificato 1 volta in totale.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Ok già va meglio, quindi la mia sommatoria simmetrica è chiaro che è sbagliata.
Ma allora dimmi se è vero questo: siccome il "ciclaggio" è comunque una permutazione, sarà (scusate per la simbologia paurosamente scorretta):
$ \displaystyle\sum_{sym} = \displaystyle\sum_{cyc} + \displaystyle\sum_{non-cyc} $,
in cui con "non-cyc" si intendono tutte le permutazioni che non siano quelle cicliche.
Insomma i termini di una sommatoria ciclica sono un sottoinsieme di quelli della rispettiva simmetrica?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Possiamo dire di più... chiamo $ $z_i $ tutte le permutazioni dei primi n-1 numeri naturali
$ $\sum_{sym}f(a_1,a_2,\dots ,a_n)=\sum_{i=1}^{(n-1)!}\sum_{cyc}f(a_{z_i(1)},a_{z_i(2)},\dots ,a_{z_i(n-1)},a_n) $
Praticamente una sommatoria simmetrica è una sommatoria di tutte le possibili somme cicliche ;)
Esempio (4 variabili, k fissato):
$ $\sum_{sym}\ln(a)^b\sqrt{c-d^k}=\sum_{cyc}\ln(a)^b\sqrt{c-d^k}+\sum_{cyc}\ln(a)^c\sqrt{b-d^k}+\sum_{cyc}\ln(b)^a\sqrt{c-d^k}+\sum_{cyc}\ln(b)^c\sqrt{a-d^k}+\sum_{cyc}\ln(c)^a\sqrt{b-d^k}+\sum_{cyc}\ln(c)^b\sqrt{a-d^k} $
Spero sia chiaro :)
p.s. mi scuso per non averlo scritto prima... non mi era venuto in mente ;)
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Perfetto! Sìsì sei stato chiarissimo. Ma dovrei chiedere ancora una cosa sulle disuguaglianze.
Vedendo sulle schede gobbiniane, vedo che ogni teorema fa premesse mooolto particolari (tipo che la somma di tizio e caio deve fare uno, o che siano tutte in ordine crescente o che so io). Insomma non hanno nulla di "generale". Sono comunque utili così spesso?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
No non parlo delle condizioni di "omogenizzazione", parlo proprio delle condizioni che devono rispettare le disuguaglianze stesse, per come spiegate nelle schede di Gobbino o nella dispensa del sito.
Per esempio, la disuguaglianza di Young
$ x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \le \vartheta_1x_1^{1/{\vartheta_1}} \cdot \ldots \cdot \vartheta_n x_n^{1/{\vartheta_n}} $
già trovarla così è molto dura, se poi ci aggiungi le condizioni
$ x_i > 0 , \forall i \in \{1, \ldots, n\} $
$ \vartheta_i > 0 , \forall i \in \{1, \ldots, n\} $
$ \vartheta_1 + \ldots + \vartheta_n = 1 $
sembra proprio una disuguaglianza cercata "col lanternino", per nulla generale.
La mia domanda è: le disuguaglianze che capitano nelle competizioni sono tutte risolubili usando questa manciata di disuguaglianze molto particolari?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Beh, la disuguaglianza mica ti salta fuori con stampato in fronte "Wei! Io sono Young!". In genere devi cercare su quali termini applicarla, magari non su $ $a,b,c $ ma su $ $\frac{1}{1+a},\frac{1}{1+b},\frac{1}{1+c} $. Inoltre omogeneizzando e con altre manipolazioni puoi cambiare i termini per adattarli alle ipotesi della disuguaglianza che vuoi usare. Insomma, non basta prendere un teoremone generale e sbattercelo dentro senza preoccuparsi del come e del perché. Comunque in genere si, a livello teorico dovrebbero bastare le disuguaglianze delle schede di Gobbino. Sicuramente sono anche troppe fino a Cesenatico.
Capisco. Quindi il difficile non è applicarle, ma arrivarci! Insomma io ho un'intuizione di qualche disuguaglianza "standard" che penso si possa usare, e provo a manipolare quella del testo fino ad applicare quella nota. Guardando sui thread ho visto che la maggior parte delle manipolazioni sono (a parte quelle algebriche e omogeneizzare che sono banali) il costruire una catena di disuguaglianze che sai essere vere, o il sostituire (per esempio porre che ne so $ \displaystyle\frac{2}{\log a} = x $ ).
Il fatto che sono troppe per cesenatico mi consola! Sicuramente adesso sono ancora ad un livello molto basso, ma posso almeno sperare di avvicinarmi un po' di più!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Ho dato un'occhiata agli ultimi 5 Cesenatici: c'erano in totale due disuguaglianze, di cui una non usava nessuno strumento (a parte che i quadrati sono maggiori di 0, ma vabbè) e l'altra usava solo AM-GM. Se punti più in alto di Ces, studiale, se no quando sai medie, riarrangiamento e Cauchy-Schwarz sei a posto.
