Probabilità in teoria dei numeri

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
amatrix92
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Probabilità in teoria dei numeri

Messaggio da amatrix92 » 23 mar 2010, 22:27

da Wikipedia:
La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di : $ \frac{6}{\pi^2} $

come si dimostra?

P.s= ho cercato un po' su Google e sul forum ma non ho trovato nulla, se mi linkate ad una dimostrazione va bene ugualemente :)

p.p.s= questo mi da motlo a pensare sulla natura di $ \pi $; è uno strumento matematico, o viene fuori dalla natura?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 23 mar 2010, 23:07

Allora, la probabilità di cui tu parli non è ben definita. Però si può parlare del limite della probabilità che due numeri a caso, minori di n siano primi tra loro. Questo dovrebbe dare il risultato che vuoi tu.

Posso darti un'idea di come iniziare la dimostrazione, al momento non vedo come finirla, e non ho tantissimo tempo, però dovrebbe essere così.

Bisogna escludere che siano pari, che siano multipli di 3, e così via. La probabilità che due numeri minori di n siano multipli di p, se n è grande, è circa $ 1/p $. Quindi la probabilità che non siano entrambi multipli di p è circa $ 1 - 1/p^2 $. Siccome questo è "indipendente" dall'essere multipli di un altro primo (per il teorema cinese del resto), la probabilità che cerchi sarà (se uno sistema tutti i circa e i limiti)

$ \prod_{p \text{ primo}} \left( 1 - \frac{1}{p^2} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty} \mu(n) \frac{1}{n^2} $,

dove $\mu(n)$ vale $0$ se $n$ non è libero da quadrati, altrimenti $\mu(n) = (-1)^s$ se $n$ si scrive $n = p_1\cdots p_s$ per primi distinti $p_1, \dots, p_s$.

Adesso calcoliamo un'altra serie. Partiamo dalla somma

$ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $.

Questo è minore di due, perciò si può sviluppare la serie geometrica

$ \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}} = \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m \left( \sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n^2} \right)^m $.

Ecco, ora non mi è chiaro perché questa serie e quella di prima siano uguali, ma immagino che con un po' di manipolazioni si possa vedere. Se a qualcuno viene in mente come concludere, posti pure.
Ultima modifica di Nonno Bassotto il 23 mar 2010, 23:12, modificato 2 volte in totale.
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 23 mar 2010, 23:11

amatrix92 ha scritto:P.s= ho cercato un po' su Google e sul forum ma non ho trovato nulla, se mi linkate ad una dimostrazione va bene ugualemente :)
Forse l'hai cercato in italiano, e di conseguenza non hai trovato nulla, o hai trovato solo informazioni disastrosamente confusionarie o errate.

Un punto di partenza è questo: http://en.wikipedia.org/wiki/Coprime
C'è anche una piccola dimostrazione molto leggibile.

La cosa più importante secondo me è capire quale senso abbia la parola "probabilità" in questo contesto, e la risposta è nell'ultimissima parte dell'articolo: tutto il discorso è ben definito su insiemi finiti di interi, e quindi definiamo la "probabilità" su tutti gli interi come il limite delle probabilità su [1, ..., N], per N che tende a infinito.

Sul p.p.s. non mi pronuncio, perché pare molto "ingenua" come domanda... Forse più filosofica che matematica.
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Messaggio da Nonno Bassotto » 23 mar 2010, 23:15

Ah ok, inutile cercare di finire la mia. :D
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 23 mar 2010, 23:20

Ricordo che FrancescoVeneziano propose questo stesso problema anni fa, ma il discorso morì quasi subito, perché qualcuno fece notare che la probabilità non era ben definita. Non ho più trovato la discussione (forse era in mailing list e non sul forum?), ma è una soddisfazione pensare che finalmente le abbiamo dato un senso. :D
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Messaggio da amatrix92 » 23 mar 2010, 23:32

ok, la dimostrazione mi sembra non contenga strumenti matematici per me sconosciuti quindi domani mattina quando mi metto a studiarla un po' la capirò (credo :roll: ). per quanto riguarda il p.p.s = capisco cosa voglia dire il tuo "ingenua". effetivamente lo credo ancheio posta così, provo partendo da un piccolo ragionamento ( quello che ho fatto io in seguito alla lettura del Pi_Greco sulla tanto sprezzata Wikipedia italiana (http://it.wikipedia.org/wiki/Pi_greco ), il pigreco può essere definito come somma degli angoli interni di un triangolo con le misure espresse in radianti, questo però per esempio non vale in gemetrie non Euclidee, quindi da questo punto di vista non si può dire che il pigreco sia naturale perchè lo sarebbe soltanto in relazione al sitema in cui lo inseriamo. Ma in un caso come questo, in cui prendiamo come definizioni e concetti indimostrabili solo quelli di numero, numeri primi tra loro e probabilità che però non credo siano concetti "discutibili" nel senso che c'è qualcuno che può dire no, non è vero, in natura la probabiltà non è questa e non si calcola con queste formule ma con queste altre. Da questo ragionamento ho dedotto che Il pigreco abbia un fondamento naturale.
La parte finale della dimostrazione però sottolinea un fatto che era sfuggito al mio ragionamento è che non è la probabilità precisa ma è il valore a cui tende la probabilità al crescere dell'insisme dei numeri che si prende in considerazione. resta comunque il fatto che un valore probabilistico tenda ad un numero relativo a Pigreco. (scusate se sono un po' al limite tra filosofia e matematica)
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Messaggio da Tibor Gallai » 24 mar 2010, 00:40

Tutto questo c'entra poco col glossario.............
amatrix92 ha scritto:il pigreco può essere definito come somma degli angoli interni di un triangolo con le misure espresse in radianti, questo però per esempio non vale in gemetrie non Euclidee, quindi da questo punto di vista non si può dire che il pigreco sia naturale
Oltre al fatto che io in genere sconsiglio caldamente l'uso di wikipedia italiana, almeno per la matematica (in modo molto presuntuoso, ma allo stato attuale delle cose è la reazione più sensata, credo), devo aggiungere che forse hai interpretato male tutta la questione.

Pigreco è un numero. Per definirlo come somma in radianti degli angoli interni di un triangolo, ti stai intanto appoggiando ad un teorema che dice che questa somma è un angolo piatto indipendentemente dal triangolo. Quindi, non si capisce a priori perché tiri in ballo i triangoli, che sono una complicazione inutile, e non dici semplicemente che pigreco è la misura dell'angolo piatto in radianti. Seconda cosa: questo dice ancora molto poco, perché la definizione di pigreco è stata solo "spostata" dentro la definizione di radiante, che si dà con riferimento alla lunghezza di archi di circonferenza. Parlare di triangoli e di somma di angoli è completamente slegato dalla natura di pigreco, tu hai soltanto osservato che gli angoli interni di un triangolo si sommano all'angolo piatto, e questo non c'entra un tubo di niente col numero 3,1415... Quel numero viene fuori SOLO perché l'unità con cui misuri gli angoli è scelta in un certo modo. Se li misurassi in gradi sarebbe 180°, e questo ti fa già capire che il pigreco non sia inerente alla questione dei triangoli.
E spero che questo primo punto sia abbastanza chiaro.

Insomma: se vuoi definire pigreco usando nozioni geometriche euclidee, il modo più sensato è definirlo come rapporto tra circonferenza e diametro, e su questo non ci piove. Definire la lunghezza di una curva è un'altra bella gatta da pelare, ma non ci addentriamo.

Data una definizione di pigreco che ci piace e che non sia troppo ambigua (modi tipici di definire pigreco sono le serie), possiamo osservare che valgono teoremi notevoli in cui saltano fuori pigrechi come funghi. Un esempio è questo qua dei numeri coprimi, e ne sono stati scoperti a bizzeffe, nel corso dei secoli. Perché questo avviene? Forse pigreco ha qualche legame misterioso con la natura? No, pigreco compare ovunque perché è definito in modo "semplice". Il numero 3 è definito in modo ancora più semplice (tipo 1+1+1), e quindi compare in molti più posti, per esempio. La suggestione che pigreco abbia proprietà misteriose e inerenti alla natura è in parte data dal fatto che noi umani gli abbiamo dato un nome e un'identità, che ce lo presentano a scuola molto presto e spesso avvolgendolo in un'aura mitica, ed anche dal fatto che compaia effettivamente in molti campi della matematica attraverso corrispondenze "poco ovvie" tra gli enti in gioco. L'esistenza di queste corrispondenze è data solo dal fatto che dicevo prima: pigreco è definibile in modo "semplice", quindi salta fuori per forza di cose appena si fanno certi tipi di costruzioni.

Legami tra natura e pigreco: questi non vanno confusi con i legami tra le MODELLIZZAZIONI della natura e pigreco. Le modellizzazioni sono nostre rappresentazioni matematiche e semplificazioni mentali di cose naturali. In virtù dell'essenza matematica dei modelli, spesso e volentieri il pigreco salta fuori nei suddetti modelli. Questo non ha niente a che vedere col fatto che pigreco sia "presente in natura", in qualunque modo ciò possa essere inteso.
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Messaggio da amatrix92 » 24 mar 2010, 13:49

Wikipedia ha scritto:Mentre, nella geometria euclidea, la somma degli angoli interni di un triangolo misurata in radianti è uguale a π, nelle geometrie non-euclidee la stessa somma può essere maggiore (geometria ellittica) o minore (geometria iperbolica) e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro può non essere π.
sempre dalla solita Wikipedia italiano avevo preso il fatto degli angoli in radianti, comunque su questo punto ho capito dove era la falla.
Ricapitolando $ \pi $ è un numero "semplice" che si può trovare in diversi modi , come lo può essere appunto il numero 3; quindi è molto facile che venga furoi in svariati campi della matematica. il che non vuol dire che sia un numero prorpio della natura ma vuol meglio dire che è un numero proprio della nostra generalizzazione della natura. credo di aver capito :)
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Messaggio da SkZ » 24 mar 2010, 14:43

come detto da Tibor, in realta' in quel passaggio sarebbe piu' giusto dire angolo piatto.

Misurare gli angoli interni di un triangolo e' anche uno dei modi per scoprire se l'Universo e' piatto, chiuso o aperto ;)
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Messaggio da Tibor Gallai » 24 mar 2010, 20:54

Lessi su un vecchio libro di meccanica classica la storia (secondo alcuni un mito) che Gauss ad un certo punto fu incaricato dal governo tedesco di disegnare la mappa di una qualche regione. Il metodo che si usa (ancora oggi, anche se con strumenti diversi!) è di partizionare la regione in triangoli, e mappare ciascuno separatamente. Come vertici di un triangolo individuò le cime di 3 montagne, quindi salì su ognuna delle 3 e, dopo aver fatto il suo normale lavoro, misurò con altissima precisione gli angoli interni del mega-triangolo. Quello che voleva fare, sempre secondo la storia, era stabilire empiricamente se lo spazio è euclideo o non euclideo...
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Messaggio da pic88 » 24 mar 2010, 21:07


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Messaggio da Tibor Gallai » 24 mar 2010, 21:16

Grazie, avevo dimenticato quell thread! Non è quello che dicevo io, però: era molto più vecchio, e a questo punto penso fosse il thread di una mailing list...

La questione a cui si accenna alla fine sul riarrangiamento delle serie è in realtà più semplice, perché i termini sono tutti positivi, quindi si possono riarrangiare e spezzettare impunemente in qualsiasi modo.
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Messaggio da amatrix92 » 24 mar 2010, 21:44

Tibor Gallai ha scritto:Lessi su un vecchio libro di meccanica classica la storia (secondo alcuni un mito) che Gauss ad un certo punto fu incaricato dal governo tedesco di disegnare la mappa di una qualche regione. Il metodo che si usa (ancora oggi, anche se con strumenti diversi!) è di partizionare la regione in triangoli, e mappare ciascuno separatamente. Come vertici di un triangolo individuò le cime di 3 montagne, quindi salì su ognuna delle 3 e, dopo aver fatto il suo normale lavoro, misurò con altissima precisione gli angoli interni del mega-triangolo. Quello che voleva fare, sempre secondo la storia, era stabilire empiricamente se lo spazio è euclideo o non euclideo...
e ci lasci così? che risultati ottenne?
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Messaggio da Tibor Gallai » 24 mar 2010, 22:00

Secondo te? :roll:
Comunque anch'io ho notato che, curiosamente, nessuna delle fonti che riportano questa storia dice quali furono effettivamente i risultati. :wink:
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Messaggio da SkZ » 24 mar 2010, 22:25

I risultati, ovviamente, entro gli errori di misura, dimostrarono tutto e nulla ;)
Altrimenti non saremmo ancora qui a cercare di misurarli. Cmq servono distanze molto grandi affinche' la curvatura se presente sia avvertibile.
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