Ascensore difettoso

[xXStephXx]

C'è un palazzo, sede della società "EMAG", formato da $76$ piani più il piano terra, numerati da $0$ a $76$. In questo palazzo non ci sono le scale e l'unico mezzo per muoversi da un piano all'altro è l'ascensore. Una volta raggiunto il piano $76$ è possibile accedere al tetto attraverso un'apertura posta sul soffitto.

(uhm... mi sa di trollata... continuiamo a leggere...)

Ad un tratto lo stregone Karlosson prende l'ascensore al piano terra con l'intento di raggiungere il tetto, e dunque digita il numero $76$. Tuttavia non appena raggiunge il piano numero $53$ l'ascensore si blocca e si guasta. Da quel momento in poi, ogni volta che si preme un tasto (a prescindere dal tasto premuto) l'ascensore può scendere di un piano o salire al piano successivo con egual probabilità $\frac{1}{2}$. (Ovvero si muove di un piano alla volta verso il basso o verso l'alto).
Ma il buon Karlosson ha pazienza infinita ed è disposto a stare in eterno in ascensore pur di raggiungere un'uscita. Naturalmente il suo obbiettivo è quello di arrivare _sul_tetto. Quindi se Karlosson raggiunge il piano terra prima di arrivare sul tetto HA PERSO. Se invece raggiunge il piano $76$ prima del piano terra allora perde ugualmente per via del numero, ma per lo meno riesce a raggiungere il tetto ed è felice e contento.
Si determini quindi la probabilità che karlosson raggiunge il piano terra prima di raggiungere il tetto.

[karlosson_sul_tetto]

Anche se sono completamente estraneo al problema, avrei delle domande: tu chiedi la probabilità che questo misterioso stregone raggiunga prima le fondamenta e poi il tetto? Oppure semplicemente raggiunga la base? O che raggiunga il piano terra senza mai raggiungere il tetto e solo dopo arrivarcisi?

[xXStephXx]

La probabilità che raggiunge il piano terra senza mai essere stato al piano $76$.
Anche se il suo obbiettivo è arrivare sul tetto, si presume che se si ritrova al piano terra ne approfitta per uscire visto che saranno passate sulle $3$ ore abbondanti xD

[Lasker]

Chiamo $P(n)$ la probabilità che ha karlosson di PERDERE senza arrivare mai _sul_tetto, con $n$ uguale al numero del piano, vale allora:
$$P(n)=\frac{1}{2}P(n-1)+\frac{1}{2}P(n+1)$$
In quanto ad un piano $n$ posso arrivarci solo da due piani adiacenti. Valuto allora gli specifici $P(n)$:
$P(0)=1$
$P(1)=\frac{1}{2}[P(0)+P(2)]$
$P(2)=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}P(0)+\frac{1}{2}P(2)+P(3)]$
$P(3)=\frac{1}{2}[\frac{1}{4}P(0)+\frac{1}{4}P(2)+\frac{1}{2}P(3)+P(4)]$
$...$
Osservo che ognuno dei termini successivi può essere visto come funzione di $P(2)$, infatti:
$P(1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}P(2)$
$P(2)=P(2)$
$P(3)=\frac{3}{2}P(2)-\frac{1}{2}$
$P(4)=2P(2)-1$
E così via, dunque si osserva facilmente (=non ho voglia di fare l'induzione ) che vale:
$$P(n)=\frac{n}{2}P(2)-\frac{n}{2}+1$$
Adesso basta valutare $P(38)$, che sappiamo essere per simmetria pari a $1/2$, per ottenere un'equazione di primo grado per $P(2)$.
$$P(38)=19P(2)-18=\frac{1}{2}\Rightarrow P(2)=\frac{37}{38}$$
Ora è sufficiente valutare $P(53)$, la richiesta iniziale del problema:
$$P(53)=\frac{53}{2}P(2)-\frac{53}{2}+1=\frac{53}{2}\cdot \frac{37}{38}-\frac{53}{2}+1=\frac{23}{76}$$
E si spera sia giusto...

[Troleito br00tal]

Bene!

In particolare, basta notare che è lineare e poi dire $P(76)=0$ e $P(0)=1$...

Chi si cimenta invece a calcolare dopo quanto tempo mediamente riuscirà a perdere (in entrambi i sensi) (supponendo che per passare da un piano all'altro ci metta $1$ secondo)?

[xXStephXx]

Solo un secondo? Così rischia di non perdere manco nelle mezz'ore intermedie!

Comunque io mi ero incasinato un pochetto.. Avevo pensato ad una cosa del genere:

Sia $n$ il piano da cui parte karlosson e sia $m$ l'indice dell'ultimo piano. Chiamo $P_m(n)$ la probabilità che arriva all'ultimo piano e $P_0(n)$ la probabilità che arriva al piano terra. Provando casi piccoli ci sono buone ragioni per claimare $P_0(n) = \frac{m-n}{m}$ e lo si prova per induzione estesa su $m$.
I passi base fino a $m=2$ si provano facilmente.
Ora se funziona con $m \leq k$ va mostrato che funziona con $m=k+1$.
Suppongo wlog che $n \geq \frac{m}{2}$ (in caso contrario basta ribaltare il palazzo e calcolare la probabilità complementare), e considero il piano di indice $m-n$ simmetrico ad $n$ rispetto al punto medio del palazzo. Per arrivare al piano terra karlosson deve passare dal piano $m-n$. La probabilità $P_{m-n}(n)$ che arriva al piano $m-n$ prima di arrivare al piano $m$ la posso calcolare per ipotesi induttiva visto che la lunghezza di quel tratto è minore di $k+1$ e vale $P_{m-n}(n)=\frac{m-n}{n}$. Una volta arrivato al piano $m-n$, la situazione è simmetrica rispetto a quella iniziale e quindi la probabilità che arriva al piano terra è la stessa che aveva all'inizio di arrivare al piano $m$, ovvero $P_m(n)$ che vale $1-P_0(n)$.
La probabilità che arriva al piano terra è data quindi dalla probabilità che raggiunge il piano $m-n$ per la probabilità che una volta raggiunto arriva a terra ovvero: $P_0(n)= P_{m-n}(n) \cdot P_m(n)= \frac{m-n}{n} \cdot (1-P_0(n))$ da cui $P_0(n)= \frac{m-n}{m}$


PS: il bonus mi sa che è più bello e penso che lo si può fare in entrambi i modi