Fatto curioso
Fatto curioso
Dimostrare che, preso un $n$-agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $1$, il prodotto di tutte le corde aventi per estremi due vertici del poligono, di cui uno è fissato, compresi i lati, è $n$.
Sempre che non abbia sbagliato...
Sempre che non abbia sbagliato...
Ultima modifica di matpro98 il 01 mar 2015, 10:03, modificato 2 volte in totale.
Re: Fatto curioso
Aspetta sei sicuro del risultato? Sono un po' svampito ma mi pare che per il quadrato non torni!
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Re: Fatto curioso
S, infatti, volevo mettere una versione più complicata ma era sbagliata. Ho corretto con l'originale
Re: Fatto curioso
Mettendoci nel piano complesso, gli $n$ vertici del poligono corrispondono (per una nota proprietà) alle radici $n$-esime dell'unità. Le distanze cercate corrisponderanno quindi ai moduli dei numeri complessi $1-\omega_i$, per $i$ che va da $1$ a $n-1$.
Considerando ora il polinomio $$P(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$$
Esso avrà come radici esattamente tutte le radici dell'unità escluso $1$ (perché abbiamo eliminato il fattore $(x-1)$), e quindi si potrà fattorizzare (per Ruffini, osservando anche che il polinomio di partenza è monico) come
$$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}=P(x)=\prod_{i=1}^{n-1}(x-\omega_i)$$
Ma allora vale
$$n=\left|\sum_{i=0}^{n-1} 1^{i}\right|=|P(1)|=\left|\prod_{i=1}^{n-1}(1-\omega_i)\right|=\prod_{i=1}^{n-1} |1-\omega_i|$$
E la tesi è dimostrata
Considerando ora il polinomio $$P(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$$
Esso avrà come radici esattamente tutte le radici dell'unità escluso $1$ (perché abbiamo eliminato il fattore $(x-1)$), e quindi si potrà fattorizzare (per Ruffini, osservando anche che il polinomio di partenza è monico) come
$$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}=P(x)=\prod_{i=1}^{n-1}(x-\omega_i)$$
Ma allora vale
$$n=\left|\sum_{i=0}^{n-1} 1^{i}\right|=|P(1)|=\left|\prod_{i=1}^{n-1}(1-\omega_i)\right|=\prod_{i=1}^{n-1} |1-\omega_i|$$
E la tesi è dimostrata
Ultima modifica di Lasker il 01 mar 2015, 10:26, modificato 1 volta in totale.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: Fatto curioso
Beh può essere anche quella interessante!
Magari se il prodotto valesse tipo $ n^{n/2} $
Magari se il prodotto valesse tipo $ n^{n/2} $
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
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Re: Fatto curioso
Sì, giusto, allora avevo sbagliato il /2
Re: Fatto curioso
ah, un vecchio classico dei primi G1 medium
-
- Messaggi: 308
- Iscritto il: 11 feb 2012, 14:37
- Località: Hangar 18
Re: Fatto curioso
4000 MESSAGGI!!1!!11!!!EvaristeG ha scritto:ah, un vecchio classico dei primi G1 medium
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D
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-------8==D8==D8==D8==D8==D8==D8==D
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-------------8==D8==D8==D8==D8==D
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------------------------8==D
https://www.youtube.com/watch?v=35bqkTIcljs
Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
Mar Ionio: fatto
tetto del Carducci: fatto
mura di Pisa: fatto
ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/
non aprire questo link
un pentacolo fatto col mio sangue
Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
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mura di Pisa: fatto
ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/
non aprire questo link
un pentacolo fatto col mio sangue
Testo nascosto:
Re: Fatto curioso
Davvero? Non lo sapevoEvaristeG ha scritto:ah, un vecchio classico dei primi G1 medium
Re: Fatto curioso
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... G1-Sam.pdf
Beh, all'epoca era Trigonometria plus + un po' di disuguaglianze a caso (sì, non avevamo le idee chiare). E questo era un bell'esercizio sui numeri complessi.
(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)
Beh, all'epoca era Trigonometria plus + un po' di disuguaglianze a caso (sì, non avevamo le idee chiare). E questo era un bell'esercizio sui numeri complessi.
(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)
Re: Fatto curioso
Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora
Re: Fatto curioso
Cosa credi, che non ci abbiano già provato? Se riesci a sopportare il tanfo di birra e la musica del belin all'entrata nel sacro tempio, sei meritevole di stanzarloEvaristeG ha scritto:(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Fatto curioso
Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)matpro98 ha scritto:Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora
Re: Fatto curioso
4003 MESSAGGI!!1!!11!!!EvaristeG ha scritto:Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)matpro98 ha scritto:Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D
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Il mio compleanno è il 2 agosto. E anche quello di Maccio.
Questo forum non è abbastanza ENORME per tutti e due!
È sufficiente considerare un infinito non numerabile di infiniti numerabili di numeri non numerabili...non mi sembra difficile!
GLIEL'HO BUTTATO!
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