Poligoni ciclici
Poligoni ciclici
Tra tutti i poligoni di $n$ lati i cui vertici giacciono tutti su una circonferenza, trovare quelli di area massima.
Re: Poligoni ciclici
Ho capito male il problema, o è noto che la soluzione sono gli $n$-agoni regolari?
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
Re: Poligoni ciclici
Non è noto, in realtà non conosco la soluzione, ma penso proprio siano quelli. Il punto è che non riesco a dimostrarlo.
Re: Poligoni ciclici
Puoi dimostrare che se non è regolare allora non ha area massima ad esempio (è più facile di quello che sembra). Se invece vuoi un hint più meccanico mi pare una buona idea sfruttare
Testo nascosto:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: Poligoni ciclici
Ah si, credo di esserci riuscito come hai detto tu
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Re: Poligoni ciclici
Sì, quello che hai scritto funziona
Per Jensen, l'idea è di suddividere l'$n$-agono in tanti spicchi collegando ogni vertice al centro, e chiamando $\theta_i$ gli angoli al centro che si vengono a formare; poi possiamo scrivere l'area di ogni triangolino in funzione del suo $\theta_i$, e adesso dovrebbe essere chiaro come usare Jensen
Per Jensen, l'idea è di suddividere l'$n$-agono in tanti spicchi collegando ogni vertice al centro, e chiamando $\theta_i$ gli angoli al centro che si vengono a formare; poi possiamo scrivere l'area di ogni triangolino in funzione del suo $\theta_i$, e adesso dovrebbe essere chiaro come usare Jensen
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Poligoni ciclici
Credo di averlo risolto, ma vorrei giusto un chiarimento. Le poche volte che ho visto Jensen è stato con funzioni convesse. Posso usarla su funzioni concave e invertire il verso senza problemi?
Re: Poligoni ciclici
Certo! Puoi anche vederla così: $f$ concava $\iff -f$ convessa
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Poligoni ciclici
Questa mi sa che l'ho già raccontata a un senior...
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: Poligoni ciclici
Ecco qui
Testo nascosto:
Ultima modifica di Vinci il 07 lug 2017, 19:25, modificato 1 volta in totale.
- Gerald Lambeau
- Messaggi: 335
- Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
- Località: provincia di Lucca
Re: Poligoni ciclici
Ah ecco, allora non mi ricordavo male, se non sbaglio anche il problema algebrico/geometrico fra quelli di miscellanea del WC di quest'anno aveva lo stesso inghippo (in una delle soluzioni proposte).fph ha scritto: ↑07 lug 2017, 19:05 Questa mi sa che l'ho già raccontata a un senior...
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
Credete a questo teorema? Cosa c'è che non va nella sua dimostrazione?
Ora riguardate la dimostrazione qui sopra; non ha esattamente la stessa struttura?
Il fatto è che
Testo nascosto:
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Poligoni ciclici
[quote=fph post_id=167608 time=1499447114 user_id=81
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
[/quote]
Così non avete dimostrato che $1$ è il più piccolo intero positivo?
E' sbagliata la mia dimostrazione di prima?
Teorema: 1 è il più grosso intero positivo.
Dimostrazione: dimostriamo che se $n \neq 1$ allora esiste un numero intero maggiore di $n$. Visto che, da fatti noti sulle parabole, $x^2-x>0$ per ogni $x>1$, allora $n^2>n$. Finito.
[/quote]
Così non avete dimostrato che $1$ è il più piccolo intero positivo?
E' sbagliata la mia dimostrazione di prima?
- Gerald Lambeau
- Messaggi: 335
- Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
- Località: provincia di Lucca
Re: Poligoni ciclici
No, lui sta dicendo: se il massimo non è $1$, il massimo è maggiore di $1$, ma allora il suo quadrato sarebbe più grande del massimo stesso, assurdo, quindi il massimo è $1$.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: Poligoni ciclici
Ah si, adesso ho capito. Io ho dimostrato che se non è regolare posso costruirne uno di area maggiore, ma non ho dimostrato che questa seconda area è minore di quella del poligono regolare. Domanda: se nelle ipotesi del problema c'era che quello di area massima esiste, la mia prima soluzione sarebbe stata giusta?
Re: Poligoni ciclici
Esatto, se in qualche modo riesci a dire che esiste un poligono di area massima, allora quella dimostrazione si riesce a sistemare facilmente ("prendiamo un poligono non regolare; supponiamo che esso abbia area massima; costruiamone uno di area maggiore; assurdo, quindi il poligono di area massima (che deve esistere) è quello regolare").
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]