Siano $ 0\leq a \leq b \leq c $ reali tali che $ a+b+c = ab+bc+ca > 0 $. Dimostrare che $$(1+a)\sqrt{bc} \geq 2$$ e determinare tutti i casi di uguaglianza.
Le seguenti domande allora mi sorsero spontanee:
- perché esiste il vincolo $a+b+c>0$?
- perché esiste il vincolo $a \leq b \leq c$, dato che il problema non sembra particolarmente asimmetrico? Ovvero, posso togliere qualcuna di queste imposizioni innaturali lasciando verificato l'enunciato?
- quali sono le prime scelte di terne $(a,b,c)$ possibili da controllare per trovare, eventualmente, qualche caso di uguaglianza?
- alla luce delle simmetrie del problema e dei casi di uguaglianza trovati, poiché conosco bene i casi di uguaglianza delle più facili disuguaglianza note (ovvero AM$\geq$GM e Cauchy-Schwarz), se voglio fare un primo passaggio quali posso sperare di fare senza mangiare troppo?
- riesco con un solo passaggio a diminuire le variabili in gioco da 3 a 2?
- seguendo un altro filone di pensiero, cosa mi dice il vincolo $a+b+c = ab+bc+ca$, da solo (magari qualche disuguaglianza che coinvolge uno dei termini LHS o RHS)?
- come posso usarlo per dire qualcosa sulla disuguaglianza da dimostrare?
Come ultima osservazione, vorrei far notare che nessuna delle espressioni che compaiono in questo problema sembra particolarmente complessa. Infatti, quasi tutte, presa una variabile alla volta, sono affini (cioè di primo grado in quella variabile). Poiché abbiamo un vincolo, non sembra che il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sia assurdamente sbagliato.
Invito, dunque, chiunque abbia voglia di cimentarsi a studiare questo strumento e a provare a trovare una soluzione a questo problema. Qualche link utile a tale scopo: molti video vecchi in particolare le lezioni S10A_A1, S10A_A2, S14A_A1 e (parzialmente) S17A_A1, S15A_A2, oltre che questo pratico handout.