Funzionale

Vuoi proporre i tuoi esercizi? Qui puoi farlo!!

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Catraga
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Messaggio da Catraga »

Trovare tutte le funzioni tali che:
<BR>
<BR>f:N--->N
<BR>f(f(n)+m)=f(f(m))+f(n)
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 17-08-2004 08:31 ]
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Catraga
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Messaggio da Catraga »

Dài, su, qualcuno dica qualcosa (si, ok, attinente al topic, please)... nessuna idea???!!!
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positrone
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Messaggio da positrone »

f(n)=n
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Catraga
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Messaggio da Catraga »

<BR>Beh, sì e già qlcs.. comunque funzia anche f(n)=0 costante...
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fph
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Messaggio da fph »

Sbaglio o era gia\' stato proposto paro paro meno di un mese fa? (mi sembra quella, sono sicuro al 95%, potrei sbagliarmi, le funzionali sono tutte uguali...) Cmq se e\' quello non ho ancora visto nessuno postare soluzioni... suvvia, fatelo, secondo me e\' carino e molto istruttivo.
<BR>
<BR>ciao,
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positrone
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Messaggio da positrone »

Posto una soluzione vera e propria,sperando di non scrivere boiate.
<BR>Anzitutto poniamo m=0,dunque otteniamo f(f(n)=f(n)+f(f(0)),trasportando avremo f(f(n))-f(f(0))=f(n). Notiamo facilmente che f(f(0))=0;dunque avremo f(n)=0 o f(n)=n,di conseguenza f(f(n))=n.
<BR>Generalizzando per ogni m chiamiamo t f(f(m)) e m, allora possiamo scrivere f(f(n)+t)=f(n)+t,che conferma i risultati trovati per f(m)=0.
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MASSO
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Messaggio da MASSO »

io direi che dopo aver posto m=0 ottenendo f(f(n))=f(n)+f(f(0)) potremmo porre f(n)=t ed avere cosi la soluzione f(t)=t+k dove k è la costante prodotta da f(f(0)); spero di non aver ripetuto la soluzione di positrone, ma quel \"Notiamo facilmente che f(f(0))=0\" mi aveva confuso un pò.
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talpuz
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Messaggio da talpuz »

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-08-18 12:49, MASSO wrote:
<BR>io direi che dopo aver posto m=0 ottenendo f(f(n))=f(n)+f(f(0)) potremmo porre f(n)=t ed avere cosi la soluzione f(t)=t+k dove k è la costante prodotta da f(f(0))
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ok, però quella relazione vale solo per k appartenente al codominio della f, che non è detto sia tutto N...
<BR>
<BR>cmq sì, è la stessa postata dal Biagio tempo fa, e in effetti non è ancora apparsa una soluzione completa (c\'è anche nelle dispense francesi come esercizio, ma non sapendo il francese non è che abbia capito granchè della soluzione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> )
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
fph
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Messaggio da fph »

Secondo me vi manca ancora qualche soluzione... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf »

Devo ammettere che questa funzionale è bastarda dentro...
<BR>ponendo m=n=0 otteniamo f(0)=0 e poi ponendo n=0 otteniamo f(f(m))=f(m).
<BR>Quindi tutti gli elementi del codominio sono punti fissi della funzione.
<BR>osserviamo che f(f(m)+f(n))=f(m)+f(n) quindi se abbiamo più elementi del codominio anche le loro combinazioni lineari appartengono al codominio (solo a coefficienti positivi).
<BR>Prendiamo ora il mcd di tutte le f(n) e chiamiamolo d=mcd[f(1),f(2)...].
<BR>sappiamo che, per il teorema di bezout, abbiamo che per qualche coefficiente intero a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,... abbiamo d=a<sub>1</sub>f(1)+a<sub>2</sub>f(2)+... e prendendo la a<sub>i</sub> minore (sarà sicuramente negativa) abbiamo che x=-a<sub>i</sub> è tale che x+a<sub>j</sub>>0 per ogni j€N. prendiamo ora i numeri:
<BR>
<BR>n1=x*[f(1)+f(2)+f(3)+....]
<BR>n2=(x+a<sub>1</sub>)f(1)+(x+a<sub>2</sub>)*f(2)+(x+a<sub>3</sub>)*f(3)+...=n1+d
<BR>
<BR>Questi due numeri appartengono al codominio entrambi in quanto sono combinazioni lineari (con coefficienti positivi) di elementi del codominio.
<BR>
<BR>Abbiamo che f(n1+d)=f(n2)=n2=n1+d perchè n2€C ma abbiamo:
<BR>f(n1+d)=n1+f(d) xkè n1€C e quindi f(d)=d e di conseguenza f(ad)=ad per a€N.
<BR>Quindi abbiamo che, esprimendo in forma euclidea ogni intero n=xd+y abbiamo:
<BR>f(n)=f(xd+y)=xd+f(y).
<BR>
<BR>Non resta che definire f(n) con d>n e sapendo che f(n) è per forza multiplo di d abbiamo, per gli n minori di d, f(n)=y<sub>n</sub>d con y<sub>n</sub> numero naturale arbitrario.
<BR>
<BR>Quindi abbiamo che tutte e sole le funzioni sono definite da un numero d e da una qualunque successione di numeri naturali {y<sub>n</sub>} in questo modo:
<BR>
<BR>f(x)=f(ad+q)=(a+y<sub>q</sub>)*d con d>q
<BR>
<BR>Abbiamo visto che queste solo le sole funzioni possibili e si può verificare che sono tutte sostituendo.
<BR>
<BR>Spero di essermi spiegato bene... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 24-08-2004 12:16 ]
fph
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Messaggio da fph »

Braaavo Simo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Soluzione perfetta, a me pare.
<BR>
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talpuz
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Messaggio da talpuz »

2 dubbi:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>Prendiamo ora il mcd di tutte le f(n) e chiamiamolo d=mcd[f(1),f(2)...].
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>sicuro che questa cosa sia lecita??
<BR>stai prendendo l\'mcd di infiniti numeri...mi sembra una cosa un po\' azzardata...
<BR>oltretutto dopo usi il teorema di bezout, asserendo l\'esistenza di una combinazione lineare di infiniti numeri...mah...
<BR>
<BR>aspetto un parere dai \"superiori\"... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 24-08-2004 21:39 ]
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Messaggio da talpuz »

ok, ho visto adesso il messaggio di fph...
<BR>
<BR>se adesso però si potessero chiarire i miei dubbi, non sarebbe male <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
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Messaggio da Simo_the_wolf »

naturalmente per la combinazione lineare sono necessari molti meno f(i).
<BR>Si potrebbe fare mi pare anche partendo da f(1) e f(2) e poi analizzare tutti gli f(i) con i che va fino a mcd(f(1),f(2)) e dedurne le medesime conclusioni...
<BR>
<BR>P.S.: grazie per le congratulazioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 24-08-2004 21:58 ]
fph
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Messaggio da fph »

Giusta obiezione... In realta\' per come e\' definito sembra che n1 sia infinito, bisogna restringere la somma ai f(i) che servono effettivamente nell\'algoritmo di Bezout.
<BR>
<BR>L\'mcd di infiniti numeri e\' definito come nel caso finito, senza troppi problemi:
<BR>Il punto e\' che quando fai il MCD di infiniti numeri questi sono \"quasi tutti\" inutili: infatti supponi di dover fare l\'mcd di a_1, a_2, ... a_n, ... (infiniti a_i). Tutti i fattori che ti interessa mettere nell\'mcd sono divisori di a_1; quindi, per ogni divisore d di a_1 controlli: e\' vero o no che tutti gli a_i sono divisibili per questo d? Se si\', ok, e\' un fattore dell\'mcd. Se no, esistera\' un a_k t.c. d non divide a_k: allora se prendi tutti questi a_k al variare di d ottieni un insieme finito (perche\' i divisori di a_1 sono finiti) che ha lo stesso mcd dell\'insieme infinito iniziale, e sei a posto (puoi usare Bezout su questo insieme finito...)
<BR>(spero che funzioni... lo sto formalizzando qui sul momento <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>(ma non mi stupirei se ci fosse qualche baco, non fatevi problemi a postare dubbi/critiche)
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
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