Problemi

metafisic · Messaggio da **metafisic** » 01 gen 1970, 01:33

1-Mostrare che esistono infiniti numeri della forma n!-1 che non sono primi
 
 2-Sia I={1, 2,..., n} e sia P(I) l\'insieme della parti di I.
 
 Quante sono le funzioni f<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">(I)--->I:
 
 f(AintB)=min(f(A), f(B)), per ogni A, B in P(I)
 
 [addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-04 21:59, metafisic wrote:
 1-Mostrare che esistono infiniti numeri della forma n!-1 che non sono primi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Per il teorema di Wilson, se p è un primo intero > 0: p | (p-1)!+1. Ergo, nondimeno: p | (p-2)! - 1. Ne seguita l\'asserto, pur di considerare che i primi naturali sono in numero infinito, e che definitivamente in N: n! - 1 > n+2... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 04-01-2005 23:42 ]

metafisic · Messaggio da **metafisic** » 01 gen 1970, 01:33

...definitivamente mitico[addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Indi, comunque mitico da un certo punto in poi, su su verso l\'infinito... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao.
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-04 21:59, metafisic wrote:
 2-Sia I={1, 2,..., n} e sia P(I) l\'insieme della parti di I.
 
 Quante sono le funzioni f<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">(I)--->I:
 
 f(AintB)=min(f(A), f(B)), per ogni A, B in P(I)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Mah... ad occhio e croce, direi la somma delle prime n potenze n-esime.
 
 Ciao. M.[addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao anche a te, marco, e tanti auguri!

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-05 08:24, marco wrote:
 [...] ad occhio e croce, direi la somma delle prime n potenze n-esime.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 ...ad occhio e croce direi invece che qualcosa non mi quadra...

Se n = 2: P(I) = {∅, {1}, {2}, I}. Poniamo:
 
 iii) f(∅) = f({1}) = f({2}) = f(I) = 1;
 iii) f(∅) = f({1}) = f({2}) = 1; f(I) = 2;
 iii) f(∅) = f({1}) = 1; f({2}) = f(I) = 2;
 iv) f(∅) = f({2}) = 1; f({1}) = f(I) = 2;
 iv) f(∅) = 1; f({1}) = f({2}) = f(I) = 2;
 vi) f(∅) = f({1}) = f({2}) = f(I) = 2.
 
 Salvo che non abbia preso una grossa cantonata (...), ogni funzione dell\'elenco precedente soddisfa le richieste del problema, per cui...
 
 -------
 
 \"...sbaglio oppure 6 ≠ 12 + 22?!?\" - HiTLeuLeR [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 05-01-2005 11:45 ]

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-05 11:43, HiTLeuLeR wrote:
 
 Se n = 2: P(I) = {∅, {1}, {2}, I}. Poniamo:
 
 iii) f(∅) = f({1}) = f({2}) = f(I) = 1;
 iii) f(∅) = f({1}) = f({2}) = 1; f(I) = 2;
 iii) f(∅) = f({1}) = 1; f({2}) = f(I) = 2;
 iv) f(∅) = f({2}) = 1; f({1}) = f(I) = 2;
 iv) f(∅) = 1; f({1}) = f({2}) = f(I) = 2;
 vi) f(∅) = f({1}) = f({2}) = f(I) = 2.
 
 Salvo che non abbia preso una grossa cantonata (...), ogni funzione dell\'elenco precedente soddisfa le richieste del problema, per cui...
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Il caso che hai etichettato con (v) non va bene, perché
 1= f(∅) = f({1}int{2})=min{2,2}=2
 
 La soluzione data da marco è corretta e si basa sull\'osservazione che i valori della funzione su I e sugli n insiemi della forma I \\ {singoletto} determinano univocamente la funzione su tutte le parti di I tramite le loro intersezioni.
 Quindi fissando f(I)=i ad ogni insieme I \\ {singoletto} posso assegnare un valori tra 1 ed i in modo indipendente, per un totale di i^n possibili scelte, da sommare per i che va da 1 a n.
 
 CaO
 Francesco Veneziano
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 05-01-2005 12:26 ]
 maledetti smilies... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 05-01-2005 12:28 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-05 11:43, HiTLeuLeR wrote:
 Ciao anche a te, marco, e tanti auguri!
 [...]
 ...ad occhio e croce direi invece che qualcosa non mi quadra...
 [...]
 v) f(∅ ) = 1; f({1}) = f({2}) = f(I) = 2;
 Salvo che non abbia preso una grossa cantonata (...)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ciao, Hit. Ricambio gli auguri.
 
 Beh, direi che vale il caso della cantonata.
 
 La (v) non va bene. Infatti, se prendi A = {1} e B = {2}, allora
 f( {} ) = f( A int B ) = min( f(A), f(B) ) = 2, non 1.
 
 Ciao. M.
 
 EDIT: Fregato sul tempo!! E bruciata anche la soluzione. E\' proprio come dice F.V. Unica avvertenza: verificare che tutte le fz che dice lui vadano bene. [OT]Ma voi lo vedete il simbolo di vuoto? Io vedo solo un quadrato...
 
 
 \"Maybe. But so great a claim will need to be established, and clear proofs will be required.\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 05-01-2005 12:43 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

... e dato che non ha più senso tenermela per me, ecco a voi la soluzione:
 
 Lemmino:
 
 Dimostro per induzione su k che:
 
 f( int[j=1..k](A_j) ) = min[j]( f(A_j) ).
 
 Per k = 1 è ovvio. Per k = 2 è l\'ipotesi.
 
 Passo induttivo:
 
 f( int[j=1..k+1](A_j) ) = f( int[j=1..k](A_j) int A_k+1 ) =
 min[ f( int[j=1..k](A_j) ), f(A_k+1) ] [per ipotesi] =
 min[ min[j]( f(A_j) ), f(A_k+1) ] [ip. induttiva] =
 min[j=1..k+1]( f(A_j) ). []
 
 --
 
 Quindi l\'ipotesi è vera per intersezioni di lunghezza qualunque.
 
 Sia ora X = {1,2,...,n} e, per i in X, sia X_i = X \\ {i}.
 
 Osservo che, ogni A sott\'insieme proprio di X può essere visto così:
 
 A = int X_i.
 
 [ossia: A si ottiene precisamente cancellando uno alla volta tutti gli elementi che non appartengono ad A].
 
 Questa formula mi permette di stabilire che, fissati i valori di f(X_i), ricavo un unico valore per tutti gli altri sott\'insiemi propri.
 
 Mi resta solo da trovare i vincoli per f(X).
 
 dato che f(X_i) = f( X int X_i ) = min( f(X), f(X_i) ), deduco che deve essere f(X) >= f(X_i) per ogni i.
 
 Quindi la f(-) è univocamente determinata se si specificano f(X) e f(X_i), rispettando il vincolo appena trovato. Del resto, è semplice verificare che, una volta scelti tali valori, la f(-) così costruita è effettivamente una soluzione accettabile.
 
 Contiamo le f(-) trovate: pongo k = f(X); f(X_i) vanno presi liberamente in {1..k}, e quindi ho k^n scelte possibili. Morale, il numero voluto è
 
 sum[k=1..n] (k^n). []
 
 
 \"Maybe. But so great a claim will need to be established, and clear proofs will be required.\" [ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 05-01-2005 12:51 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ooops... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">