34!

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Robertos
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34!

Messaggio da Robertos » 04 ago 2005, 13:59

Spostato da MindFlyer
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Un problema dice :
Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione della sua industria sarà 34!
Ovvero il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34. Un socio esegue il calcolo con un computer e ottiene il seguente stampato:

34!= 295232799??96041408476186096435??000000

Purtroppo la stampante ha sostituito 4 cifre con dei punti interrogativi.
Determinare i seguenti numeri. :?

PS: senza usare calcolatrici

Chi sa trovare la risposta, potrebbe spiegare il procedimento? :wink: :wink:
Roberto

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moebius
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Messaggio da moebius » 04 ago 2005, 14:25

Ciao e benvenuto! :D
Come avrai notato il forum ha diverse sezioni. Qui il problema è OT (Off topic... insomma non c'entra con questa sezione :D); potresti riproporlo, ad esempio, in teoria dei numeri, a meno che qualche moderatore non lo lanci li prima.
Se vuoi provare a risolvere il problema da solo, ti consiglio di usare i criteri di divisibilità :wink:
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 04 ago 2005, 14:38

Ciau Robertos,
di solito è una buona regola citare le fonti dei problemi che si pongono nel forum, per una sorta di rispetto verso i loro creatori.
Ora, se non erro questo problema viene dalla Coppa Fermat 2005, e l'autore è Massimo Gobbino.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 04 ago 2005, 16:16

MindFlyer ha scritto: Ora, se non erro questo problema viene dalla Coppa Fermat 2005, e l'autore è Massimo Gobbino.
Che l'autore sia Massimo Gobbino è presto smentito, visto che (rimossi gli orpelli del caso, cioè la stampante e tutte quelle altre graziose [...] amenaglie) si tratta di un problema della British Mathematical Olympiad 2002/2003, peraltro già discusso sulle pagine del vecchio forum ben prima che volgesse il 2005, benché non sia riuscito a ritrovarlo. Che sia stato *ri*proposto dal suddetto, in una veste un po' carnevalesca, in occasione della Coppa Fermat 2005, beh... questo è invece possibilissimo.

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 04 ago 2005, 17:08

:arrow: From the British Mathematical Olympiad 2002/2003.
Given that $ 34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000 $, determine the digits $ a, b, c, d $.

Soluz.: innanzitutto $ a, b, c, d \in \mathcal{D}_{10} = \{0, 1, \ldots, 9\} $, poiché è fatta implicita assunzione di operare in base decimale. Per ogni primo naturale $ p $, sia adesso $ v_p $ la valutazione $ p $-adica di $ 34! $, i.e. il massimo esponente intero $ k $ t.c. $ p^k \mid 34! $. Dall'identità di Legendre-De Polignac: $ \displaystyle v_p = \sum_{t=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{34}{p^t}\right\rfloor $, per cui (in particolare) $ v_2 \geq 10 $, $ v_3 \geq 2 $, $ v_5 = 7 $ e $ v_{11} \geq 1 $. Ergo $ 10^7\;||\; 34! $, e perciò necessariamente $ b = 0 $. Inoltre $ 0 \equiv 34! \equiv (350 + a)\cdot 10^7 \bmod 2^{10} $, donde $ 0 \equiv \equiv a - 2 \bmod 8 $ ed $ a = 2 $.

Siano adesso $ s_p $ ed $ s_d $, rispettivamente, la somma delle cifre decimali di posto pari e di posto dispari del fattoriale di $ 34 $. Risulta $ s_p = 80 + d $ ed $ s_d = 61 + c $. Eppure $ 34! \equiv 0 \bmod 11 $, per cui $ s_p \equiv s_d \bmod 11 $, viz $ d - c = 3 + 11k $, per qualche $ k\in\mathbb{Z} $. Analogamente $ 34! \equiv 0 \bmod 9 $, e pertanto $ 0 \equiv s_p + s_d \equiv c + d - 3 \bmod 9 $, ovvero $ c + d = 3 + 9h $, per qualche $ h\in\mathbb{N} $. Poiché $ c, d \in \mathcal{D}_{10} $, se ne conclude prontamente che l'unica soluzione possibile è ottenuta ammettendo $ d - c = c + d = 3 $, e quindi $ c = 0 $ e $ d = 3 $. Fine della storia...

Very very important: QUESTO E' IL MIO 1000-ESIMO MESSAGGIO! Nessuno che mi faccia gli auguri e soffi le candeline assieme a me? Almeno per una volta, siatemi buoni, Cristo santo, essù... :oops:

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Messaggio da moebius » 04 ago 2005, 18:47

Qui dice 1001... :lol:
Peccato, sarà per la prossima volta :twisted:
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Messaggio da MindFlyer » 04 ago 2005, 18:56

HiTLeuLeR ha scritto:
MindFlyer ha scritto: Ora, se non erro questo problema viene dalla Coppa Fermat 2005, e l'autore è Massimo Gobbino.
Che l'autore sia Massimo Gobbino è presto smentito
Allora, probabilmente erro.
In ogni caso mi ricordo d'averlo visto tra le proposte di Max per la gara, anche se non potrei giurare che sia stato dato effettivamente. Abbiamo cercato di scremare tenendo solo i problemi più facili, e questo mi pare un po' out of bounds...

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Messaggio da enomis_costa88 » 04 ago 2005, 19:51

Non so se è stato dato alla coppa Fermat ma a Brescia era l'ultimo problema della Coppa Tartaglia..meglio conoscita come Disfida matematica..
tra l'altro (se a qualcuno interessa) avrei qualche aneddoto da raccontare sulla soluzione di questo problema (o meglio sulla mancata soluzione ha impedito alla mia squadra di arrivare seconda..).
Mi sembra che questo problema sia stato risolto solo dalla Ciurma del capitano Jack Sparrow (a cui faccio gli auguri e i complimenti per Pisa se mai leggerà questo messaggio) e da me ma solo dopo la gara :cry: :x
Ps anche io avevo usato la divisibilità per 11; 5^7;9 e 1024*10^7 ovvero 2^10*10^7 analizzando la divisibilità per 8..ma ci sono altre soluzioni?

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moebius
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Messaggio da moebius » 04 ago 2005, 19:53

Io l'ho fatto con le stesse congruenze... credo che ci si possa girare intorno, ma la soluzione è quella. Dopotutto sono 4 cifre, a costo di fare un sistema lineare si arriva alla fine :D
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Messaggio da HiTLeuLeR » 04 ago 2005, 21:21

MindFlyer ha scritto:Abbiamo cercato di scremare tenendo solo i problemi più facili, e questo mi pare un po' out of bounds...
Dici?! Guarda, ti credo sulla parola, Flyer, anche se a storia della coppa Tatà-tartaglia, però... :|

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Messaggio da enomis_costa88 » 04 ago 2005, 22:44

HiTLeuLeR ha scritto: a storia della coppa Tatà-tartaglia
scusami Hit ma non capisco il senso del tuo messaggio?
la Disfida (chiamata anche coppa Tartaglia dallo pseudonimo di un celebrerrimo matematico bresciano Nicolò Fontana sopprannominato TartaJa in Bresciano balbuziente) è la gara a squadre svoltasi a Brescia. Penso che i quesiti fossero gli stessi della coppa Fermat.
Ps ma non c'è nessuno (se ci sono e gli admin lo permettono che battano un colpo!) che bazzica su questo forum tra coloro che c'erano alla Disfida??

Nota Storica: la disfida è il nome di una gara posta da Del Fiore (allievo di Scipione Del Ferro) a Fontana. Questa sfida consisteva in trenta (trenta ciascuno quindi sessanta) problemi risolvibili con equazioni di terzo grado (almeno credo personalmente non ho mai provato a risolverli :wink: qualcuno confermi \ smantisca)..finì con una vittoria stracciante per il Bresciano (30-0).

PPS ha ragione Hit era già stato postato sul forum..ho trovato dove: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3080

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Messaggio da HiTLeuLeR » 05 ago 2005, 00:50

Non preoccuparti, enomis! Il mio era soltanto un modo come un altro per dissentire con Mind in merito al livello del problema discusso in questo thread, tutto lì. :roll:

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