Un quadrato....tanti quadratini (sns 1999)

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
mark86
Messaggi: 260
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Un quadrato....tanti quadratini (sns 1999)

Messaggio da mark86 » 17 ago 2005, 00:23

Sia $ n \geq 1 $ un intero. Diciamo che un quadrato è $ n $-divisibile se è possibile piastrellarlo con $ n $ quadrati, non necessariamente delle stesse dimensioni.
Per quali interi $ n \geq 1 $ il quadrato è $ n $-divisibile?

Avatar utente
Catraga
Messaggi: 302
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trieste (Univ)

Messaggio da Catraga » 17 ago 2005, 08:35

Il problema e' un classico. L'ha affrontato anche Martin Gardner in un vecchio (anni 80) articolo della Scientific American, in inglese il problema va sotto il nome di "squaring the square" ovvero "quadrare il quadrato". La risoluzione non e' poi tanto banale e si presta a varie soluzioni, si puo' affrontare con tecniche algebriche od anche con la teoria dei grafi (che, a mio parer di combinatorialista, e' la piu' elegante). Sotto a chi tocca!

Avatar utente
Paoloca
Messaggi: 88
Iscritto il: 18 apr 2005, 18:11

Messaggio da Paoloca » 17 ago 2005, 09:32

Se abbiamo n quadratini possiamo crearne n+3 (basta dividere 1 quadrato esistente in 4). Visto che possiamo creare le configurazioni con 6,7 e 8 possiamo creare anche qualsiasi n>8.


Quindi le soluzioni sono 1, 4 e n>5.

Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 606
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Genova
Contatta:

Messaggio da FrancescoVeneziano » 17 ago 2005, 10:15

Nel problema di cui parla Catraga si chiedeva che i lati dei tasselli quadrati fossero tutti di lunghezze diverse. Ho letto l'articolo di Gardner e mi era piaciuto molto.

Nel problema di Paoloca i tasselli possono essere anche tutti uguali.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

mark86
Messaggi: 260
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da mark86 » 17 ago 2005, 18:58

Scusa Paoloca... puoi spiegarmi meglio come hai ottenuto la soluzione?

Avatar utente
Paoloca
Messaggi: 88
Iscritto il: 18 apr 2005, 18:11

Messaggio da Paoloca » 17 ago 2005, 20:18

Puoi creare 6, 7 e 8 e, dato un generico n, anche n+3.


Quindi da 6 puoi creare 9, 12, .. (ripeto, basta dividere in 4 un quadratino della configurazione precedente) da 7 fai 10, 13, ... e da 8: 11, 14, ..insomma tutti i naturali.

Avatar utente
Catraga
Messaggi: 302
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Trieste (Univ)

Messaggio da Catraga » 18 ago 2005, 09:06

Mi era sfuggito il fatto che potessere essere anche tutti di lato uguale... :oops: allora il problema si semplifica di molto...

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 18 ago 2005, 09:43

Paoloca, io penso che mark86 fosse perplesso sul modo in cui hai escluso i casi n=2,3,5. Hai spiegato come ottenere gli altri n, ma di questi 3 non hai detto nulla.

Avatar utente
Paoloca
Messaggi: 88
Iscritto il: 18 apr 2005, 18:11

Messaggio da Paoloca » 18 ago 2005, 10:33

mmmh, ok.. :? :)

caso 2) per non lasciare un pezzo "a L" un quadrato interno deve essere alto almeno quanto l'originale. Ma l'unico modo per cui sia quadrato è che sia anche largo quanto l'originale: assurdo.

caso 3) Ragionamento simile, per mettere 2 quadratini e lasciare uno spazio libero non a scala e tutto da una parte questi devono essere uguali e sovrapposti di lato = l/2. Ma allora il pezzo rimanente è un rettangolo.

caso 5) Prima o poi ci si trova sempre a dover dividere un rettangolo con un lato il doppio dell'altro in 3 oppure un quadrato in 2. E non si può.


Anyway non credo che mark si riferisse a ciò..

Rispondi