Sulla lavagna sono scritti 2n numeri positivi, divisi in due gruppi di n numeri ciascuno, nel modo seguente:
$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $, $ h_1 \geq h_2 \geq \cdots \geq h_n $ .
Jacopo e Niccol`o devono disegnare n rettangoli a testa, indipendentemente l’uno dall’altro e ciascuno sul proprio foglio, in modo che ogni
numero $ b_i $ venga abbinato ad uno ed un sol numero $ h_j $ per formare un rettangolo di base $ b_i $ e altezza $ h_j $.
Jacopo, per pigrizia, abbina $ b_1 $ ad $ h_1 $, $ b_2 $ad $ h_2 $ e cos`ı via fino a $ b_n $ e $ h_n $; Niccol`o, che ha pi`u fantasia, sceglie invece un diverso abbinamento basialtezze. Si dimostri che:
(a) per ogni rettangolo R di Jacopo esiste un rettangolo di Niccol`o che
ha contemporaneamente base e altezza maggiori o uguali di quelle
di R;
(b) indipendentemente dall’abbinamento scelto da Niccol`o, la somma
delle aree dei rettangoli di Jacopo `e minore o uguale di quella
relativa ai rettangoli di Niccol`o.
Il punto (b) credo di averlo risolto con la disequaglianza di raggruppamento ma non so come fare il punto (a).... urge un aiuto.....
Una lavagna molto affollata (sns 2000)
Per il punto b la cosa più ovvia è la disuguaglianza di riordinamento.
Per il punto a,invece,si può provare così:
sia $ b_k $ una base scelta arbitrariamente.Jacopo ovviamente accoppierà ad essa l'altezza $ h_k $,in ordine di grandezza.Ora si possono distinguere due casi:
CASO 1:Niccolò sceglie un'altezza con indice $ \leq k $,e si avrà la tesi.
CASO 2:Niccolò sceglie un'altezza con indice $ > k $.Ora dovrà assegnare $ k $ altezze con indice$ \leq k $,ma poichè le basi minori o uguali a quella scelta sono $ k-1 $,per il principio dei cassetti,almeno una verrà assegnata a una base maggiore o uguale a questa,e anche in questo caso si ha la tesi.
Per il punto a,invece,si può provare così:
sia $ b_k $ una base scelta arbitrariamente.Jacopo ovviamente accoppierà ad essa l'altezza $ h_k $,in ordine di grandezza.Ora si possono distinguere due casi:
CASO 1:Niccolò sceglie un'altezza con indice $ \leq k $,e si avrà la tesi.
CASO 2:Niccolò sceglie un'altezza con indice $ > k $.Ora dovrà assegnare $ k $ altezze con indice$ \leq k $,ma poichè le basi minori o uguali a quella scelta sono $ k-1 $,per il principio dei cassetti,almeno una verrà assegnata a una base maggiore o uguale a questa,e anche in questo caso si ha la tesi.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)