Una lavagna molto affollata (sns 2000)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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mark86
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Una lavagna molto affollata (sns 2000)

Messaggio da mark86 » 18 ago 2005, 17:28

Sulla lavagna sono scritti 2n numeri positivi, divisi in due gruppi di n numeri ciascuno, nel modo seguente:
$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $, $ h_1 \geq h_2 \geq \cdots \geq h_n $ .
Jacopo e Niccol`o devono disegnare n rettangoli a testa, indipendentemente l’uno dall’altro e ciascuno sul proprio foglio, in modo che ogni
numero $ b_i $ venga abbinato ad uno ed un sol numero $ h_j $ per formare un rettangolo di base $ b_i $ e altezza $ h_j $.
Jacopo, per pigrizia, abbina $ b_1 $ ad $ h_1 $, $ b_2 $ad $ h_2 $ e cos`ı via fino a $ b_n $ e $ h_n $; Niccol`o, che ha pi`u fantasia, sceglie invece un diverso abbinamento basialtezze. Si dimostri che:
(a) per ogni rettangolo R di Jacopo esiste un rettangolo di Niccol`o che
ha contemporaneamente base e altezza maggiori o uguali di quelle
di R;
(b) indipendentemente dall’abbinamento scelto da Niccol`o, la somma
delle aree dei rettangoli di Jacopo `e minore o uguale di quella
relativa ai rettangoli di Niccol`o.

Il punto (b) credo di averlo risolto con la disequaglianza di raggruppamento ma non so come fare il punto (a).... urge un aiuto.....

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thematrix
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Messaggio da thematrix » 18 ago 2005, 18:07

Per il punto b la cosa più ovvia è la disuguaglianza di riordinamento.
Per il punto a,invece,si può provare così:
sia $ b_k $ una base scelta arbitrariamente.Jacopo ovviamente accoppierà ad essa l'altezza $ h_k $,in ordine di grandezza.Ora si possono distinguere due casi:
CASO 1:Niccolò sceglie un'altezza con indice $ \leq k $,e si avrà la tesi.
CASO 2:Niccolò sceglie un'altezza con indice $ > k $.Ora dovrà assegnare $ k $ altezze con indice$ \leq k $,ma poichè le basi minori o uguali a quella scelta sono $ k-1 $,per il principio dei cassetti,almeno una verrà assegnata a una base maggiore o uguale a questa,e anche in questo caso si ha la tesi.
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Jordano
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Messaggio da Jordano » 23 ago 2007, 11:31

il punto a l'ho risolto anche io come thematrix, il punto b ho usato anche io riordinamento...

volevo però chiedere se all'ammissione si poteva usare riordinamento così senza dimostrazione, o ci sono problemi?

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