Definizione = ammissione?

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Spi
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Definizione = ammissione?

Messaggio da Spi » 25 ago 2005, 18:36

Di tutti gli esercizi dell'ammissione all'SNS alcuni mi sono rimasti un po' ostici (quanta ruggine...), ma questo mi ha lasciato quasi allibito.
"Si enunci la definizione di poligono convesso e si dica che cosa è la sua area. (Non più di dieci righe)."
Ok non è che sia particolarmente difficile, ma una cosa che apprezzavo particolarmente di questi tipi di esercizi è una certa oggettività e, soprattutto, il non dovere studiare la teoria fine a se stessa!

Comunque, a parte tutto, non è che sia per la difficoltà, ma quale sarebbe una risposta buona e accettabile a questa domanda? Quelle normalmente date a scuola sono decisamente troppo intuitive e poco rigorose mi sa...

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Marco
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Messaggio da Marco » 26 ago 2005, 07:40

Tu che definizione daresti?

Per un poligono convesso, è tutto sommato facile e più o meno qualunque definizione naif dovrebbe andare bene. Penso che quell'esercizio, apparentemente ingenuo e semplice, serva soprattutto a capire con quanta dimestichezza ci si muove nelle astrazioni matematiche.

La definizione vera e rigorosa di area di una figura generica, non si può fare prima di aver fatto due anni abbondanti di Analisi. Però una figura generica può essere una cosa schifosissima. Esempi come gli insiemi di Cantor, Sierpinski e compagnia briscola sono, a conti fatti, quasi oggetti "tranquilli".

Naturalmente, questo non si applica a oggetti facili come sono, per l'appunto, i poligoni.

Prova a fare l'esercizio e poi a chiederti: che cosa devo fare se voglio l'area di un poligono non convesso? E se il poligono ha dei buchi? E se avesse una frontiera curvilinea? E se la frontiera non fosse una linea? E se ne avesse un numero infinito? Già, a proposito: e come definiresti la frontiera di una figura? E il numero di buchi? E' possibile trovare l'area di ogni possiible figura? Quanto vale l'area dei punti a coordinate intere? A coordinate frazionarie con denominatori potenze di 2? A coordinate razionali? A coordinate irrazionali? E' vero che unendo due figure disgiunte l'area dell'unione sia la somma delle aree? Ecc...
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Paoloca
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Messaggio da Paoloca » 26 ago 2005, 08:10

Marco ha scritto:Per un poligono convesso, è tutto sommato facile e più o meno qualunque definizione naif dovrebbe andare bene. Penso che quell'esercizio, apparentemente ingenuo e semplice, serva soprattutto a capire con quanta dimestichezza ci si muove nelle astrazioni matematiche.

Infatti. Secondo me le intenzioni degli esaminatori si potrebbero riscrivere come: "Tutti sapete intuitivamente che cos'è un poligono convesso e la rispettiva area ma nessuno si ricorda la definizione "da manuale". Vediamo chi riesce a costruirsi usando un po di logica e astrazione una definizione rigorosa.."

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 26 ago 2005, 12:31

Anch'io sono rimasto un po' basito quando ho visto quel problema, poi ho cercato di farmene una ragione ed ho pensato più o meno quello che ha scritto Marco.

La prima cosa che viene in mente è pensare al poligono convesso di n lati come unione di triangoli: o n-2 triangoli ottenibili triacciando le diagonali a partire da un vertice, oppure n triangoli ottenibili unendo i vertici ad un punto interno.
Definire l'area del triangolo dati, ad esempio, i vertici, si può fare con un determinante o con la formula di Erone. Per passare all'area del poligono convesso, basta sommare le aree dei triangoli che lo compongono.

Ma il problema fondamentale è: come mi libero del problema della scelta della scomposizione del poligono? Devo dimostrare che la definizione data è buona, nel senso che il numero che ottengo è effettivamente indipendente dalla scelta della scomposizione? Per i triangoli il problema si aggira facilmente, infatti sia il determinante che la formula di Erone sono invarianti per permutazione dei vertici. E soprattutto, come dimostro tutto questo in meno di 10 righe? Sembra impossibile, e questo fa propendere per un'altra strada.

La seconda idea promettente è mettere il poligono nel piano cartesiano e pensare ad un "integrale". In questo caso non è difficile dare una definizione di area come somma e differenza di aree di trapezi rettangoli, e si evita anche il problema di configurazione. La sola cosa a cui si deve fare attenzione è definire sensatamente i vertici "superiori" ed "inferiori" del poligono. Se tutto ciò che sappiamo del poligono sono le coordinate dei vertici, si può pensare di ordinarli rispetto alla coordinata x. Se esiste un solo punto con coordinata x minima, esso è il primo elemento sia della sequenza dei vertici superiori, sia della sequenza dei vertici inferiori. Se sono 2 o più, si prende come superiore quello con la massima y, come inferiore quello con la minima. Andando avanti nella lista, si riesce a classificare ogni punto trovato come superiore o inferiore, semplicemente esaminando la sua coordinata y, e confrontandola con quelle trovate finora.

Ma qui il problema diventa un altro: come definisco un poligono convesso usando in modo simmetrico le coordinate dei vertici? Si può pensare all'inviluppo convesso dei punti, e dire che l'equazione $ P_i=\sum_{i=1}^n a_iP_i $, dove i P sono gli n punti dati, e gli a sono dei reali non negativi e con somma 1, ha come unica soluzione $ a_i=1 $, $ a_j=0 $, per ogni j diverso da i. Se questo è vero per ogni indice i, allora gli n punti (distinti) sono vertici di un n-agono convesso. In tal caso definiamo n-agono convesso l'insieme dei punti dati dalla formula $ \sum_{i=1}^n a_iP_i $, con i coefficienti a non negativi e con somma 1.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 26 ago 2005, 17:22

Un'idea alternativa che elimina l'arbitrarietà della scelta del punto interno nella scomposizione in n triangoli, è questa: al posto di un punto generico prendiamo ad esempio il baricentro dei vertici, e uniamolo con i vertici. Abbiamo n triangoli di cui sappiamo trovare l'area, ed inoltre possiamo dimostrare brevissimamente che le coordinate del baricentro sono invarianti per permutazioni dei vertici. Così l'area risulta ben definita.

Adesso vogliamo però una definizione di poligono convesso coerente con questo modo di calcolarne l'area, e quella "algebrica" che ho detto sopra può andar bene, se non che adesso occorre definire un ordine dei $ P_i $ che sia quello "giusto" (orario o antiorario), e questo non è facile, se non spendendo un sacco di parole...

kemhONE
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Messaggio da kemhONE » 26 ago 2005, 18:03

Uhm...si potrebbe definirla come l'intersezione di semipiani individuati dalle rette dei lati e contenenti il baricentro?
Il poligono in generale direi che è una serie chiusa di segmenti consecutivi, mentre per il convesso la definizione è abbastanza semplice.

Mind, non sono convinto delle tue argomentazioni: la richiesta è quella di definire il poligono convesso come entità, e quindi l'idea di usare informazioni sui vertici o sui lati mi sembra un po' "artificiosa". Inoltre la tua risposta dà per scontato il concetto di triangolo, che è però un poligono convesso!

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 27 ago 2005, 01:13

Uhm...io, all'epoca, avevo scritto un po' di definizioni equivalenti, tipo quella degli angoli interni, quella delle diagonali interne, quella dell'intersezione di semipiani.
Per ignoranza e ingenuità, per rispondere alla parte sull'area, avevo scritto più o meno
"nella geometria euclidea si definisce l'area come la misura per confronto con l'area di un poligono campione (di solito un quadrato o un rettangolo) tramite triangolazione (supposta l'area indipendente da essa) della parte finita di piano delimitata dal perimetro del poligono (ammettendo che questa esista)"
forse lo scrissi anche peggio...
Evidentemente piacque la mia risposta, oppure non ne tennero conto, accorgendosi che la domanda era cretina, forse.
Comunque, l'area può essere definita in tanti modi, l'importante è che tale definizione trovi coerente sistemazione all'interno della geometria...una delle cose più sensate per unpoligono convesso è definirla partendo dal triangolo e poi triangolando un poligono convesso collegando un punto interno con i vertici. Con un po' di fatica si può dimostrare che questa cosa è invariante dalla scelta del punto interno. Ovviamente vi sono altri mille modi per dividere il poligono, ma se io DEFINISCO in questo modo l'area, nessuno potrà lamentarsene.
Del resto, c'è il problema della definizione di interno del poligono...nel caso dell'intersezione di semipiani, ilproblema è superato, ma se si definisce il poligono a partire dal perimetro, sono c****i.
Insomma, forse la domanda poteva avere risposta con un'oretta di intenso lavoro e le idee mostruosamente chiare in proposito, ma di certo non in 10 righe, forse in 10 pagine.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 27 ago 2005, 12:48

kemhONE ha scritto:Uhm...si potrebbe definirla come l'intersezione di semipiani individuati dalle rette dei lati e contenenti il baricentro?
Il poligono in generale direi che è una serie chiusa di segmenti consecutivi, mentre per il convesso la definizione è abbastanza semplice.

Mind, non sono convinto delle tue argomentazioni: la richiesta è quella di definire il poligono convesso come entità, e quindi l'idea di usare informazioni sui vertici o sui lati mi sembra un po' "artificiosa". Inoltre la tua risposta dà per scontato il concetto di triangolo, che è però un poligono convesso!
No, no, no, non ci siamo capiti.

1) Secondo le mie definizioni, un poligono convesso è un sottoinsieme del piano cartesiano (con qualche altra proprietà...), tutto qui! Le informazioni sui vertici (non quelle sui lati, che non uso) le ricavo tutte dal poligono visto come insieme di punti, e non me le "invento" dal nulla! Piuttosto tu, dovresti spiegarmi come fai a ricavare il baricentro di un'intersezione di semipiani, date solo le rette che individuano i semipiani! Guarda che non è mica facile... Per non parlare di come definisci a questo punto l'area...

2) E la mia risposta non dà per scontato il concetto di triangolo! Il triangolo io lo definisco come terna di punti, e da questa terna definisco l'area con la formula di Erone o equivalente. Poi, dalla successiva definizione di poligono convesso e della sua area, verrà fuori come teorema che i triangoli sono poligoni convessi, e l'area di un triangolo coincide con la sua area come poligono convesso, ma questo non c'entra nulla.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 27 ago 2005, 15:48

Ecco un possibile svolgimento, che ha il pregio di non mordersi la coda, e di non mischiare più di una caratterizzazione dei poligoni convessi (se si usano 2 caratterizzazioni bisogna dimostrarne l'equivalenza, e questo porta via spazio!).
Un poligono convesso è una n-upla ordinata di punti $ \left(P_1, \ldots , P_n\right) $ nel piano cartesiano (n>2), a 3 a 3 non allineati, e tali che ogni retta del piano intersechi la spezzata $ P_1 P_2 \ldots P_n P_1 $ in 0, 1, 2 o infiniti punti.
Dati 3 punti A, B, C nel piano cartesiano, si definisce $ Area(A,B,C)=\frac 1 2 |A_xB_y + B_xC_y + C_xA_y - A_yB_x - B_yC_x - C_yA_x| $.
Dato un poligono convesso, la sua area è il numero $ Area(P_1,P_2,Q)+Area(P_2,P_3,Q)+\ldots $$ +Area(P_{n-1},P_n,Q)+Area(P_n,P_1,Q) $, dove $ Q=\frac{P_1+P_2+\ldots +P_n}n $.
Commento:
La definizione data di poligono convesso esclude automaticamente che la spezzata sia intrecciata.
Il fatto che l'area sia espressa in funzione dei vertici, impone di considerare il poligono come una n-upla ordinata di punti (e non come il loro inviluppo convesso). Altrimenti occorrerebbe dimostrare l'invarianza dell'area rispetto alla scelta dei vertici, e questo non è affatto cosa da poche righe.
Notare che non è necessario menzionare l'invarianza dell'area del triangolo rispetto all'ordine dei vertici, in quanto nella formula dell'area del poligono, tutti i triangoli hanno i vertici con ordine fissato. Quindi, al posto della formula per l'area del triangolo data, andrebbe bene qualsiasi altra, anche asimmetrica rispetto ad A, B, C.

kemhONE
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Messaggio da kemhONE » 27 ago 2005, 18:21

Ok Mind, mi hai convinto. :wink:

La mia domanda però è: esiste una risposta da 10 righe che non faccia uso del piano cartesiano?
Penso che l'area sia un concetto "primitivo", ossia intuitivo e non definibile, al pari della retta, il punto, il piano. Non sono riuscito a darle una definizione soddisfacente che non sia il vago e banale "insieme di punti (o regione) del piano delimitato da una linea chiusa".
Voglio dire, prima di Descartes come veniva definita l'estensione di una superficie?
Uhm... oltretutto questo è un discorso che si presterebbe ad abbondanti speculazioni filosofiche... ma non è il nostro campo! :)

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 27 ago 2005, 20:05

kemhONE ha scritto:La mia domanda però è: esiste una risposta da 10 righe che non faccia uso del piano cartesiano?
Penso che l'area sia un concetto "primitivo", ossia intuitivo e non definibile, al pari della retta, il punto, il piano.
Se così fosse, potresti risolvere il problema sns dicendo "l'area di un poligono convesso è un concetto primitivo, quindi non si definisce".
(E poi non è per niente vero che il punto, la retta, il piano non sono definibili in altri modi se non quello dell'intuizione. Questo è ciò che dicevano 2000 e rotti anni fa i Greci, e che i professori di medie e liceo diligentemente ci ripetono, senza mettere in evidenza il fatto che la geometria non si è cristallizzata con i Greci. Ma chiusa parentesi.)
Il non usare piani cartesiani, ovvero astrarre dalle coordinate dei punti, si può fare eccome, però ti scontri con l'ovvio problema di dover esprimere la misura di un'area (un numero) in funzione di una figura, senza poter misurare lunghezze, etc. Devi allora introdurre una "grandezza campione", che può essere un quadrato di lato fissato, un segmento di lunghezza fissata, etc. E poi devi metterti a riportare la grandezza campione sulla figura, facendo un sacco di operazioni che nella sostanza sono né più né meno quelle che fai definenendo un piano cartesiano e delle coordinate.
In alternativa puoi definire l'area in astratto non con un numero, ma con un quadrato, come suggeriva Evaristo. Diciamo che il poligono convesso P ha area pari a Q (dove Q è un quadrato) se P e Q possono essere scomposti in triangoli congruenti. Quello che bisogna dimostrare qui è che l'area di un poligono convesso è ben definita: ovvero che per ogni poligono convesso esiste uno ed un solo quadrato equiscomponibile, il che è un lavoro improbo, altro che 10 righe.

fph
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Messaggio da fph » 04 set 2005, 22:17

Un paio di osservazioni anche da parte mia...
1- Se dite "un'intersezione di semipiani", va specificato che è "finita" (cioè, racchiusa in una palla di raggio abbastanza grande), se no anche un semipiano può andare bene
2- Io preferisco la definizione come 'combinazioni convesse dei vertici'; l'area a questo punto per l'area credo che funzioni la "shoelace formula":
$ A=|x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_n y_1 - y_1 x_2 - y_2 x_3 - \dots - y_n x_1| $
(lo so, definire l'area in questo modo forse è un po' "barare". In effetti dovremmo dimostrare che il numerello che viene fuori è uguale alla "definizione intuitiva di area", e che è "additiva"...)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 05 set 2005, 15:39

fph ha scritto:2- Io preferisco la definizione come 'combinazioni convesse dei vertici'; l'area a questo punto per l'area credo che funzioni la "shoelace formula":
$ A=|x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_n y_1 - y_1 x_2 - y_2 x_3 - \dots - y_n x_1| $
Il grave problema di questo approccio è che la formula dell'area non è invariante per permutazioni dei vertici. Mentre se definisci il poligono convesso come sottoinsieme del piano generato dalla combinazione convessa di n punti, devi dimostrare che questa funzione (da sottoinsiemi del piano detti "poligoni convessi" a R) è ben definita. Ovvero, dovresti dimostrare che per tutti gli insiemi di punti che generano un dato poligono (a priori quest'insieme potrebbe non essere unico), esiste un ordinamento (da definire, peraltro) che fissa il risultato della formula ad un ben preciso valore indipendente da tutto il resto. L'unico stratagemma che regga in 10 righe è secondo me definire i poligoni come insiemi ordinati dei vertici, o come spezzate o in modo equivalente. Insomma, va a tutti i costi fissato un ordinamento dei vertici per poter usare formule per l'area di quel tipo.

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