Diofantee "Normali"...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Spider
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Diofantee "Normali"...

Messaggio da Spider » 27 set 2005, 18:39

Dimostrare che non esistono soluzioni in numeri naturali alle due equazioni:

a) $ 41 = 2^n - 3^m $
b) $ 41 = 3^n - 2^m $

Salvatore

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post233
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Re: Diofantee "Normali"...

Messaggio da post233 » 28 set 2005, 12:33

Spider ha scritto:Dimostrare che non esistono soluzioni in numeri naturali alle due equazioni:...b) $ 3^n-2^m=41 $
Consideriamo l'equazione in modulo 4: non essendoci soluzioni per m<2, otteniamo $ 3^n\equiv 1 (mod 4) $, dunque n deve essere pari.
Osserviamola ora in modulo 10: essendo n pari, l'ultima cifra di $ 3^n $ sarà necessariamente 9 o 1, dunque l'ultima cifra di $ 2^m $ dovrà essere 8 o 0. Essendo la seconda opzione impossibile per una potenza di 2, dobbiamo accogliere la prima, che ci porta a $ m\equiv 3 (mod 4) $, dunque m è dispari.
Osserviamo infine l'equazione in modulo 9: poiché non abbiamo soluzioni per n<2, essa diventa: $ 2^m\equiv 4 (mod 9) $: osservando i residui modulo 9 delle potenze di 2, notiamo che essi sono 2,4,8,7,5,1: potendo prendere solo quelli per esponente dispari, abbiamo 2,8,5, dovendo escludere così anche 4. Pertanto l'equazione è impossibile.
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phi
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Messaggio da phi » 28 set 2005, 12:43

a)
Consideriamo l'equazione modulo 8. Abbiamo che 2==2(mod8), 2^2==4 mod 8, e tutte le altre potenze di due sono congrue a 0 modulo 8; per quanto riguarda le potenze di 3, i loro residui modulo 8 sono 3 e 1. Poiché 41==1 mod 8 non è possibile che sia n>2, e quindi l'equazione non ha soluzioni.

Uff, battuta sul tempo... meno male che almeno la a me l'hai lasciata! :wink:

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Martino
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Re: Diofantee "Normali"...

Messaggio da Martino » 28 set 2005, 12:45

Ciao, ecco come ho risolto la a).

a) $ 41 = 2^n - 3^m $

Suppongo $ n \ge 3 $ e faccio la congruenza modulo 8, risulta:

$ -3^m \equiv 1 mod(8) $
$ 3^m \equiv 7 mod(8) $

Ma le potenze di 3 modulo 8 dànno solo 1 e 3, quindi l'equazione è impossibile.

Restano da verificare a mano i facili casi n=0, n=1 e n=2. In tutti e tre questi casi risulta $ 3^m<0 $, impossibile.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"

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