NOTA: il problema proviene dalla IMO shortlist del 2000. Inutile dire che è molto carino!
Determinare ogni n tale che d^3(n) = 4n
Determinare ogni n tale che d^3(n) = 4n
Determinare ogni intero positivo n tale che $ d^3(n) = 4n $, dove $ d(n) $ indica il numero dei divisori interi positivi di n.
NOTA: il problema proviene dalla IMO shortlist del 2000. Inutile dire che è molto carino!
NOTA: il problema proviene dalla IMO shortlist del 2000. Inutile dire che è molto carino!
In accordo con l'unicità della decomposizione euclidea,poniamo
$ n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}\ldots *p_m^{k_m} $, con $ p_1,p_2,\ldots p_m $ primi distinti.Possiamo allora riscrivere l'equazione come
$ (k_1+1)^3(k_2+1)^3\ldots (k_m+1)^3=4p_1^{k_1}*p_2^{k_2}\ldots *p_m^{k_m} $.
Poichè a sinistra abbiamo un cubo perfetto,ogni fattore primo a destra dovrà necessariamente avere un esponente multiplo di $ 3 $.Duduciamo quindi che:
$ p_1=2 $(altrimente ci sarebbe a destra un fattore 4,assurdo)
$ k_1=3h_1-2 $,con $ h_1\in N,h_1\ge 1 $
$ k_i=3h_i $,con $ h_i\in N,h_i\ge 1 $ per ogni $ i=2,3,\ldots m $.
Sostituendo ed estraendo le radici cubiche,troviamo
$ (3h_1-1)(3h_2+1)\ldots (3h_m+1)=2^{h_1}*p_2^{h_2}*\ldots *p_m^{h_m} $
Osserviamo ora che a sinistra siamo congrui a $ 2 $ modulo $ 3 $,da cui deduciamo che $ p_2\neq 3 $.Quindi $ p_2 $ vale almeno 5.
Riscriviamo l'eqiazione appena trovata come
(1) $ \displaystyle \frac{3h_1-1}{2^{h_1}}=\frac{p_2^{h_2}}{3h_2+1}*\ldots\frac{p_m^{h_m}}{3h_m+1}\displaystyle $
Il membro di sinistra ha come valore massimo $ \frac{5}{4} $ in corrispondenza di $ h_1=2 $.
Cerchiamo ora di minimizzare il membro di destra.
Per $ p_i\geq 5 $,abbiamo che:
A)$ \displaystyle \frac{p_i^{h_i}}{3h_i+1}>1\displaystyle $ per ogni $ h_i\geq 1 $.
B)$ \displaystyle p_a>p_b\Rightarrow\frac{p_a^{h}}{3h+1}>\frac{p_b^{h}}{3h+1}\displaystyle $ per ogni $ h\geq 1 $
C)$ \displaystyle h_a>h_b\Rightarrow\frac{p_i^{h_a}}{3h_a+1}>\frac{p_i^{h_b}}{3h_b+1}\displaystyle $.
Da queste tre relazione deduciamo che,se al membro di destra della (1) compaiono effettivamente dei numeri primi,allora il valore minimo si ha con un solo primo,$ p_2=5 $ e con $ h_2=1 $.In questo caso il mebro di destra vale $ 5/4 $,valore che coincide con il massimo del mebro di sinistra.
In definitiva,se il nostro $ n $ contiene altri fattori primi oltre al 2,la nostra equazione ha soluzione solo per $ p_2=5 $,$ h_2=1 $ e $ h_1=2 $,a cui corrispondono $ k_1=4 $,$ k_2=3 $.Il valore di $ n $ cercato è dunque $ 2^4*5^3=2000 $.
Se invece $ n $ è una potenza di $ 2 $,dalla (1) ricaviamo che deve essere: $ 3h_1-1=2^{h_1} $,che ha soluzione per $ h_1=1 $ e $ h_1=3 $,a cui corrispondono $ n=2 $ e $ n=128 $.Per $ h_1\geq 4 $ abbiamo $ 2^{h_1}>3h_1-1 $ e quindi non abbiamo altre soluzioni.
In definitiva, le soluzioni all'equazione sono $ 2,128,2000 $
$ n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}\ldots *p_m^{k_m} $, con $ p_1,p_2,\ldots p_m $ primi distinti.Possiamo allora riscrivere l'equazione come
$ (k_1+1)^3(k_2+1)^3\ldots (k_m+1)^3=4p_1^{k_1}*p_2^{k_2}\ldots *p_m^{k_m} $.
Poichè a sinistra abbiamo un cubo perfetto,ogni fattore primo a destra dovrà necessariamente avere un esponente multiplo di $ 3 $.Duduciamo quindi che:
$ p_1=2 $(altrimente ci sarebbe a destra un fattore 4,assurdo)
$ k_1=3h_1-2 $,con $ h_1\in N,h_1\ge 1 $
$ k_i=3h_i $,con $ h_i\in N,h_i\ge 1 $ per ogni $ i=2,3,\ldots m $.
Sostituendo ed estraendo le radici cubiche,troviamo
$ (3h_1-1)(3h_2+1)\ldots (3h_m+1)=2^{h_1}*p_2^{h_2}*\ldots *p_m^{h_m} $
Osserviamo ora che a sinistra siamo congrui a $ 2 $ modulo $ 3 $,da cui deduciamo che $ p_2\neq 3 $.Quindi $ p_2 $ vale almeno 5.
Riscriviamo l'eqiazione appena trovata come
(1) $ \displaystyle \frac{3h_1-1}{2^{h_1}}=\frac{p_2^{h_2}}{3h_2+1}*\ldots\frac{p_m^{h_m}}{3h_m+1}\displaystyle $
Il membro di sinistra ha come valore massimo $ \frac{5}{4} $ in corrispondenza di $ h_1=2 $.
Cerchiamo ora di minimizzare il membro di destra.
Per $ p_i\geq 5 $,abbiamo che:
A)$ \displaystyle \frac{p_i^{h_i}}{3h_i+1}>1\displaystyle $ per ogni $ h_i\geq 1 $.
B)$ \displaystyle p_a>p_b\Rightarrow\frac{p_a^{h}}{3h+1}>\frac{p_b^{h}}{3h+1}\displaystyle $ per ogni $ h\geq 1 $
C)$ \displaystyle h_a>h_b\Rightarrow\frac{p_i^{h_a}}{3h_a+1}>\frac{p_i^{h_b}}{3h_b+1}\displaystyle $.
Da queste tre relazione deduciamo che,se al membro di destra della (1) compaiono effettivamente dei numeri primi,allora il valore minimo si ha con un solo primo,$ p_2=5 $ e con $ h_2=1 $.In questo caso il mebro di destra vale $ 5/4 $,valore che coincide con il massimo del mebro di sinistra.
In definitiva,se il nostro $ n $ contiene altri fattori primi oltre al 2,la nostra equazione ha soluzione solo per $ p_2=5 $,$ h_2=1 $ e $ h_1=2 $,a cui corrispondono $ k_1=4 $,$ k_2=3 $.Il valore di $ n $ cercato è dunque $ 2^4*5^3=2000 $.
Se invece $ n $ è una potenza di $ 2 $,dalla (1) ricaviamo che deve essere: $ 3h_1-1=2^{h_1} $,che ha soluzione per $ h_1=1 $ e $ h_1=3 $,a cui corrispondono $ n=2 $ e $ n=128 $.Per $ h_1\geq 4 $ abbiamo $ 2^{h_1}>3h_1-1 $ e quindi non abbiamo altre soluzioni.
In definitiva, le soluzioni all'equazione sono $ 2,128,2000 $