'sti maledettissimi angoli...!

[jim]

Un problema (a mio parere) non banale dalla semifinale della gara a squadre di Cesenatico '05:

Il quadrilatero $ ABCD $ ha gli angoli $ \angle ABD=30° $ , $ \angle DBC=50° $ , $ \angle BCA=60° $ , $ \angle ACD=20° $. Trovare l'ampiezza dell'angolo $ \angle CAD $.

[Simo_the_wolf]

Abbiamo subito $ \widehat{ABC}=\widehat{BCD}=80° $ quindi chiamato $ R $ l'intersezione tra $ AB $ e $ DC $ abbiamo che $ SBC $ è isoscele. Prendiamo ora $ A' $ su $ SC $ tale che $ ARA' $ sia isoscele. chiamiamo $ S $ l'intersezione tra $ AC $ e $ DB $ e $ S' $ l'intersezione tra $ AC $ e $ A'B $. Per questioni di simmetria $ S'BC $ è isoscele ma avendo $ \widehat{BCA}=60° $ sarà anche equilatero. Quindi $ BC=CS' $.

Ma anche $ DBC $ è isoscele in quanto $ \widehat{DBC}=\widehat{CDB}=50° $ e quindi $ DC=BC=CS' $. Ma allora $ DCS' $ è isoscele e quindi $ \widehat{DS'C}=\widehat{CDS'}=80° $.

Ora, sempre per questioni di simmetria $ AA'S' $ è isoscele, ma avendo un angolo di $ 60° $ è equilatero e quindi $ \widehat{AS'A'}=\widehat{S'A'A}=60° $. Ma $ RAA' $ è isoscele e quindi $ \widehat{RA'A}=80° $ e quindi $ \widehat{S'A'D}=40° $.

Ma anche $ \widehat{A'S'D}=180°-\widehat{AS'A}-\widehat{CS'B}=40° $ e allora $ A'D=S'D $.

Ora, osservando il quadrilatero $ AA'DS' $ vediamo che $ AA'=AS' $ e $ A'D=S'D $ quindi $ AD $ è l'asse del segmento di $ A'S' $ e quindi $ AD $ è bisettrice di $ A'AS' $ e quindi $ \widehat{CAD}=\widehat{S'AD}=30° $.

[edriv]

Quanti triangoli
Ci avevo provato, ma non ho pensato a costruire $ A' $, quindi tempo perso

[Simo_the_wolf]

Ovviamente questa non è tutta farina del mio sacco...

Ci avevano proposto questo esercizio al preIMO2005 e ci abbiamo messo tantissimo tempo a farlo... In particolare dalla figura a nessuno e dico NESSUNO veniva che $ DCS' $ fosse isoscele...

SGOPN!!!

[Boll]

E invece noi in quella gara a squadre l'avevamo risolto grazie ad un'argomentazione strabliliante di una mia compagna di squadra cioè "Di solito nei problemi chiedono o gli angoli di 30 o di 60". Davvero ammirevole

[jim]

Ci avevano proposto questo esercizio al preIMO2005 e ci abbiamo messo tantissimo tempo a farlo...

Beh, questo perlomeno mi tranquillizza ... Diciamo che a una gara a squadre un problema così lo risolve chi fa meglio il disegno...

Un'ultima curiosità: non è la prima volta che lo trovo scritto, che cosa vuol dire

SGOPN!!!

??

[HarryPotter]

Un'ultima curiosità: non è la prima volta che lo trovo scritto, che cosa vuol dire

SGOPN!!!

??

E' un bel mistero....

Bisognerebbe chiederlo a quel cretino che l'ha inventato....



In bocca al lupo (non SimoTheWolf però...) a tutti per questo Cesenatico 2006.
Vi auguro una bella esperienza.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Un problema (a mio parere) non banale dalla semifinale della gara a squadre di Cesenatico '05:

Il quadrilatero $ ABCD $ ha gli angoli $ \angle ABD=30° $ , $ \angle DBC=50° $ , $ \angle BCA=60° $ , $ \angle ACD=20° $. Trovare l'ampiezza dell'angolo $ \angle CAD $.

fra l'altro questo problema era sul Coxeter già da quasi 40 anni

[edriv]

fra l'altro questo problema era sul Coxeter già da quasi 40 anni

e questo topic era sul forum da quasi 7 mesi

[pensiero.dominante]

Come hai tirato fuori che CDB è di 50°?