Assi dinamici

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
darkcrystal
Messaggi: 703
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Assi dinamici

Messaggio da darkcrystal » 17 mag 2006, 14:57

Fonte: Test di ammissione SNS 2003-2004
Due punti si muovono su due rette incidenti con egual velocità. Si dimostri
che esiste un punto del piano individuato dalle due rette che in ogni
istante è equidistante dai due punti.

Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4816
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 17 mag 2006, 18:40

ah, che bei ricordi ...

BMcKmas
Messaggi: 343
Iscritto il: 13 mar 2006, 16:40

Messaggio da BMcKmas » 20 mag 2006, 10:56

Scusate se non sono molto rigoroso, probabilmente un po 'fisico' , ma è un esercizio di cinematica e io lo farei così (dimostrazione costruttiva):

Chiamo $ O $ il punto di intersezione delle due rette. Se i due punti passano per $ O $ nello stesso istante il problema è banale.
In caso contrario azzero il tempo nel momento in cui il primo punto passa per $ O $ . In tale istante i due punti disteranno tra loro $ d $. Aspetto un tempo $ t_0=\frac{d}{2v} $ in modo che entrambi i punti distino $ d/2 $ da $ O $ e indico le loro posizioni in tale istante come $ A $ e $ B $.
Considero il centro $ C $ del cerchio (unico) che passa per $ A $ e $ B $ ed è tangente alle due rette.
$ C $ è il punto cercato, infatti la distanze nel tempo di entrambi i punti da $ C $ valgono: $ \sqrt{(CA)^2+(v(t-t_0))^2} $.

cosa ne dite?
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 20 mag 2006, 14:40

Non riesco a capire la tua formula (causa la mia ignoranza in fisica): perché elevi al quadrato lo spazio percorso, ci sommi il quadrato della distanza iniziale e poi fai la radice?

La mia soluzione invece è questa:

se i punti si incrociano in O, allora O è banalmente il punto sempre equidistante dai due punti vaganti. Se non si incontrano lì, allora quando A è sulla retta in un punto qualsiasi, B è su O. Traccio l'asse del segmento AB e su questo scelgo il punto C in modo che l'angolo che i 2 angoli che CA forma sulla retta di A siano congruenti ai 2 angoli che CB forma sulla retta B. A questo punto, siccome per qualsiasi punto B' e A' che viene raggiunto dai 2 punti vaganti abbiamo che AA'=BB', allora il triangolo CAA' è congruente al triangolo CBB' perché hanno 2 lati e l'angolo fra essi compreso congruenti, quindi anche il terzo lato è congruente.
Per i più fiscali: si dimostra che esiste un punto C con le caratteristiche dette sopra in quanto l'asse di AB non è parallelo alla bisettrice dell'angolo AOB', dove B' è un punto che il punto vagante B raggiunge dopo esser passato per il punto O, perché mentre l'asse è perpendicolare alla retta A, la bisettrice non può esserlo, in quanto 2 rette incidenti incontrandosi formano 4 angoli tutti inferiori ai 180°. Il punto in cui asse e bisettrice si incontrano è C.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

BMcKmas
Messaggi: 343
Iscritto il: 13 mar 2006, 16:40

Messaggio da BMcKmas » 21 mag 2006, 13:00

La tua soluzione equivale alla mia. Quella strana radice non è altro che il teorema di Pitagora. La prima parte del mio ragionamento era una 'dimostrazione' che esistono due posizioni ($ A $ e $ B $) occupate dai punti che sono equidistanti da $ O $.
Chiamate $ A' $ e $ B' $ le posizioni dei punti in un generico istante, i triangoli $ CAA' $ e $ CBB' $ sono rettangoli (angoli retti in $ A $ e in $ B $ rispett.) e sono congruenti.
Il termine $ |v(t-t_0)| $ rappresenta infatti la distanza comune $ AA' $ e $ BB' $ per ogni istante di tempo.

ciao
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

Rispondi