SNS 2005-2006

[cippo90]

Ciao a tutti !
Vorrei proporvi questo esercizio della Normale che penso di essere riuscito a fare per avere una conferma della soluzione.

Allora...
Risolvere $ $8(4^x+4^{-x})-54(2^x+2^{-x})+101=0$ $

[HiTLeuLeR]

Posto $ y = 2^x + 2^{-x} $, vale $ y^2 - 2 = 4^x + 4^{-x} $.

[Gauss_87]

per me questa è ALGEBRA...

poni $ 2^x = t $ e risolvi una normalissima equazione...

[evans]

Cocordo con l'ottima osservazione di HiTLeuLeR ma vorrei puttosto capire come risolvere l' equazione proposta Gauss_87 che tutto mi pare tranne che normalissima?

[cippo90]

Comunque io vi avevo chiesto la soluzione...
Quindi vi chiedo: le soluzioni sono $ $\pm{1},\pm{2}$ $

[pic88]

Si, è giusto...

Risolviamo col metodo proposto da HiTLeuLeR

$ 8y^2-54y+85=0 $
il cui discriminante è $ 729-680 = 49 $
da cui $ y=\frac{17}4 $ o $ y=\frac{5}2 $
e dunque
posto $ 2^x=t $hai
a) $ 4^2-17t+4=0 $ in cui discriminante=$ 289-64=225 $allora $ t=4 $ oppure $ t=\frac1{4} $

oppure

b) $ 2t^2-5t+2=0 $ da cui $ t = 2 $ o$ t=\frac1{2} $

ora risolvi le equazioni

$ 2^x=4 \\ 2^x=\frac1{4}\\ 2^x=2\\ 2^x=\frac1{2} $
e ottieni i risultati che hai detto.

[HiTLeuLeR]

Questa comunque è algebra, come già si è fatto osservare. Qualcuno perciò sposti il 3d nel forum più adeguato, pleeease!

[edriv]

Beh ponendo come dice Gauss87 2^x=t ottieni un'equazione di quarto grado, ma che comunque dovrebbe essere reciproca, quindi con lo stesso trucco usato da HiT la riconduci a una di secondo.

[cippo90]

Grazie a tutti!

[Gauss_87]

non immaginavo che $ 2^x = t $ fosse così inpensabile..

cmq poi viene un'equazione di 4 grado e le soluzioni si trovano con Ruffini, anche abbastanza facilmente visto che sono $ \pm1, \pm2 $

[EvaristeG]

Uhm scusate ... l'avevo visto e avevo pensato di spostarlo, ma evidentemente è rimasto solo un pensiero

[Ani-sama]

Le reciproche di IV grado penso siano qualcosa come programma di II liceo C'è la solita sostituzione... del tipo:

$ $x+\frac{1}{x} = t \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ $, fattibile dopo che uno ha diviso tutto per $ $x^2$ $ e ha raccolto dove poteva...