SNS 1981.3

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Franchifis
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SNS 1981.3

Messaggio da Franchifis » 12 ago 2006, 17:28

Trovare quattro interi a, b, c, d, in modo che per ogni numero razionale positivo x risulti

$ \displaystyle \left|{\frac{ax+b}{cx+d}-\sqrt{2}}\right|<\frac{1}{10}\left|{x-\sqrt{2}}\right| $

Utilizzando la formula trovata, calcolare $ \sqrt{2} $ con l'approssimazione di $ 10^{-3} $.

piever
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Messaggio da piever » 16 ago 2006, 16:45

Allora, poniamo per comodità a=d e 2c=b. Poniamo inoltre (sempre per comodità, ma non è indispensabile): $ a>c*\sqrt 2 $
Sostituiamo quindi b con 2c e d con a.
Risolvendo e semplificando la disuguaglianza otteniamo che, affinché la disuguaglianza sia soddisfatta, è necessario che $ 10(a-c*\sqrt 2 )<cx+a $

Una coppia possibile che soddisfa ciò è a=29 e c=20, quindi d=29 e c=40

Ponendo x=1,41 e x=1,45 possiamo ricavare la disuguaglianza $ 1,414<\sqrt 2<1,415 $
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

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