Sns 1999-2000 #1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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evans
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Sns 1999-2000 #1

Messaggio da evans » 25 ago 2006, 23:40

Siano $ a,b,c $ numeri razionali tali che

$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $ .

si mostri che $ a=b=c=0 $ .

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 26 ago 2006, 00:01

Non sono sicuro che sia nella sezione giusta ... non mi sembra un problema di algebra ... piuttosto, visti i razionali che compaiono nella traccia, mi pare un problema di teoria dei numeri.
Attendo conferma da evans per spostare il thread.

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evans
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Messaggio da evans » 26 ago 2006, 00:07

Vero è più un quesito di TDN!!! Scusate, girando in questo momento nel forum ho trovato già una soluzione del problema ma mi è sembrata piuttosto complicata per un Sns. Quindi... altre soluzioni :D

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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 26 ago 2006, 00:52

Evans, non so che 3d tu abbia trovato, ma qui ci stanno ben due soluzioni diverse, ampiamente dettagliate, dello stesso problema. Leggi fino in fondo, su... :roll:

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bh3u4m
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Re: Sns 1999-2000 #1

Messaggio da bh3u4m » 26 ago 2006, 11:59

evans ha scritto:Siano $ a,b,c $ numeri razionali tali che

$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $ .

si mostri che $ a=b=c=0 $ .
Provo a riproporre lo stesso una soluzione:
Se non ho sbagliato qualcosa si dovrebbe fare sostituendo ai razionali la frazione di interi ed applicando la discesa infinita per mostrare che qualsiasi soluzione ne abbia un piu' piccola.

$ a= \frac {a_1} {a_2} $
per cui diventa:
$ a_1^3 b_2^3 c_2^3 + 2 a_2^3 b_1^3 c_2^3 + 4 a_2^3 b_2^3 c_1^3 = 8 a_1 a_2^2 b_1 b_2^2 c_1 c_2^2 $
cominciando con $ a_1 = 2 a_1' $ parte la discesa infinita.

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Boll
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Messaggio da Boll » 26 ago 2006, 12:30

Ehm , bh3u4m, non ti sei accorto che, sostituendo, hai ridotto semplicemente il problema agli interi positivi (quindi basta la discesa infinita, ma su 3 termini)?
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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evans
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Messaggio da evans » 26 ago 2006, 13:05

Boll ha scritto:Ehm , bh3u4m, non ti sei accorto che, sostituendo, hai ridotto semplicemente il problema agli interi positivi (quindi basta la discesa infinita, ma su 3 termini)?
e quindi... sono curioso(vi chiedo però non solo di enunciare i teoremi che usate ma di applicarli come nel nostro caso la discesa infinita va applicata fino a giungere alla tesi) !

@Hit ah...che sbadato ho visto il tuo 3d ma mi ero fermato alla prima soluzione...mai accontentarsi(anche perchè della prima soluzione non ci ho capito niente, ah l'ignoranza)!!!
:D

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Boll
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Re: Sns 1999-2000 #1

Messaggio da Boll » 26 ago 2006, 13:15

bh3u4m ha scritto: Siano $ a,b,c $ numeri razionali tali che
$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $ .

$ a= \frac {a_1} {a_2} $
per cui diventa:
$ a_1^3 b_2^3 c_2^3 + 2 a_2^3 b_1^3 c_2^3 + 4 a_2^3 b_2^3 c_1^3 = 8 a_1 a_2^2 b_1 b_2^2 c_1 c_2^2 $
Ok, vado avanti io per completezza (e perchè ho poco altro da fare)
$ x=a_1b_2c_2 $
$ y=a_2b_1c_2 $
$ z=a_2b_2c_1 $
ovviamente $ x,y,z\in Z^{+}_0 $
La nostra espressione diventa
$ x^3+2y^3+4z^3=8xyz $ con $ x,y,z\in Z^{+}_0 $

Ricordando che $ a_2,b_2,c_2\neq 0 $ avremo che $ x,y,z $ si annullano rispettivamente sse si annullano $ a_1,b_1,c_1 $ e quindi $ a,b,c $

Ora, per un ovvia considerazione sulla parità avremo che $ x $ dev'essere pari quindi poniamo $ x=2x_1 $. L'equazione diventa

$ y^3+2z^3+4x_1^3=8yzx_1 $ che è la stessa di prima solo con $ (x,y,z)=(y,z,x_1) $

Possiamo dunque ripetere il procedimento di prima (creando una variabile $ y_1 $, poi $ z_1 $, poi $ x_2 $ e così via) , e potremo ripeterlo un numero infinito di volte, ma poichè $ x=2^kx_k $ $ y=2^ky_k $ $ z=2^kz_k $ per ogni $ k $ avremo che i tre interi iniziali hanno un "numero infinito" di fattori 2. Perciò sono forzatamente tutti e tre zeri.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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