Ammissione SNS (1983-1984).3

[Poliwhirl]

Siano $ \displaystyle a,b $ due numeri positivi tali che $ \displaystyle a+b=1 $; provare la disuguaglianza:
$ \displaystyle \left(a +\frac{2}{a}\right)^2 + \left(b + \frac{2}{b}\right)^2 \geq \frac{81}{2} $

Per quali valori di $ a $ e $ b $ vale il segno d'uguaglianza?

Bye,
#Poliwhirl#

[Boll]

$ $ f(x)=\left( x+\frac{2}{x}\right)^2 $ è convessa quindi, per Jensen


$ $ \left( a+\frac{2}{a}\right)^2+\left(b+\frac{2}{b}\right)^2\ge 2\left( \frac{a+b}{2}+\frac{4}{a+b}\right)^2=\frac{81}{2} $

uguaglianza sse $ $ a=b=\frac{1}{2} $

[Boll]

Alternativa e completamente scolastica (o quasi):

$ x=ab $
$ $ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0 $ quindi
$ a+b-2\sqrt{ab}\ge 0 $
$ 1\ge 2\sqrt{x} $
$ $ 0< x\le \frac{1}{4} $

Ora portiamo tutto a sinistra
$ $ f(a,b)=a^2+b^2+\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}-\frac{65}{2} $
$ $ f(a,b)=(a+b)^2-2ab+\frac{4((a+b)^2-2ab)}{(ab)^2}-\frac{65}{2} $
$ $ f(x)=1-2x+\frac{4(1-2x)}{x^2}-\frac{65}{2} $
$ $ f(x)=\frac{-4x^3-63x^2-16x+8}{x^2} $

Dobbiamo studiare il segno di $ f(\cdot) $ ci basta il denominatore della frazione avremo che

$ f'(x)=-4x^2-63x-16 $ quindi per la positività di $ x $ la funzione è strettamente decresente, quindi ci basta controllare che sia positivo o nullo il valore assunto dalla funzione nel massimo del nostro intervallo, avendo che
$ $ f\left(\frac{1}{4}\right)=0 $ la nostra disuguaglianza è dimostrata e sappiamo anche che abbiamo l'uguaglianza quando $ $x=\frac{1}{4} $. Risolvendo il sistema 2x2 si trova che l'uguaglianza è per $ $ a=b=\frac{1}{2} $

[evans]

$ $ f(x)=\left( x+\frac{2}{x}\right)^2 $ è convessa quindi, per Jensen


$ $ \left( a+\frac{2}{a}\right)^2+\left(b+\frac{2}{b}\right)^2\ge 2\left( \frac{a+b}{2}+\frac{4}{a+b}\right)^2=\frac{81}{2} $

uguaglianza sse $ $ a=b=\frac{1}{2} $

Ottima soluzione ed è anche bella e sintetica ...credo che in Normale sia stata pensata con Jensen.

Non mi sono chire alcune posizioni dell'altra soluzione quando studi la $ f(x)\: $ per essere verificata la disequazione devi verificare che $ f(x) \geq 0 $ in $ $0<x\leq \frac{1}{4} $ ?

[Boll]

Beh, certo, visto che la $ x $ è limitata lì in mezzo, e la funzione a numeratore della nostra espressione decrescente, mi basta studiare il massimo per arrivare esattamente a ciò che dici tu. Cosa non ti torna?

[evans]

Volevo solo una conferma.

[enomis_costa88]

Per AM-GM:
$ \displaystyle \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2} $ $ \displaystyle =\frac{1}{2} $
$ \displaystyle ab \leq \frac{1}{4}=\frac{a+b}{4} $

Da cui:
$ \displaystyle2(4ab)+ab\leq ab +2a+2b $
$ \displaystyle \frac{ab+2a+2b}{2ab}\ge \frac{9ab}{2ab}=\frac{9}{2} $

Inoltre per QM-AM:
$ \displaystyle \sqrt{\frac{(a+\frac{2}{a})^2+(b+\frac{2}{b})^2}{2}} $ $ \displaystyle \ge \frac{(a+\frac{2}{a})+(b+\frac{2}{b})}{2}=\frac{ab+2a+2b}{2ab}\ge \frac{9}{2} $

Elevando al quadrato e moltiplicando per due ottengo:
$ \displaystyle (a+\frac{2}{a})^2+(b+\frac{2}{b})^2\ge \frac{81}{2} $
l'uguagliaza vale sse vale nella AM-GM e nella QM-AM ovvero sse $ \displaystyle a=b=\frac{1}{2} $.