Sns 1996-1994 #4

[evans]

Sia $ f(t) $ iniettiva definita sui reali positivi. Con $ x>0 \: y>0 $ chiamiamo $ f- $Media di $ $x $ e $ $y $ l'unico numero $ z $ tale che

$ $ f(z) = \frac{f(x)+f(y)}{2} $.

Mostrare che la media geometrica $ $\sqrt{xy} $ e qualla armonica $ $\frac{2xy}{x+y} $ sono delle $ f- $Medie.
Fra le funzioni convesse $ f $ individuare quelle per le quali la $ f- $Media risulta minore o uguale della media aritmetica.

E' un Sns quindi non richiede soluzioni che vadano molto oltre il programma scolastico.

[Simo_the_wolf]

Dobbiamo trovare funzioni tali che:

1) $ \sqrt { xy } =z = f^{-1} \left ( \frac { f(x)+ f(y) }2 \right ) $
2) $ \frac { 2xy}{x+y} =z = f^{-1} \left ( \frac { f(x)+ f(y) }2 \right ) $

1) $ f(x) = ln (x) $
2) $ f(x) = x^{-1} $
3) solo per quelle strettamente decrescenti

Infatti per la convessità abbiamo $ f( \frac { x+y} 2 ) \leq \frac { f(x) + f(y) }2 = f(z) $

e quindi se $ f( \frac { x+y} 2 ) \leq f(z) $ deve implicare $ z \leq \frac {x+y}2 $ vuol dire che $ f $ deve essere decrescente.