SNS 2000

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sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 26 ago 2006, 17:03

Una certa quantità, Q, che può assumere valori sia positivi sia negativi, a intervalli regolari di tempo si incrementa di una unità con probabilità 1/4, si decrementa di una unità con probabilità 1/4 o resta invariata con probabilità 2/4. Supponendo che Q sia inizialmente nulla, si determini una formula per la probabilità $ P_{n,k} $ che dopo n intervalli di tempo Q valga k unità (quindi $ P_{1,-1} = P_{1,1} = 1/4, P_{1,0}= 2/4 $).

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 28 ago 2006, 11:46

Prendi il triangolo di Tartaglia, ci si accorge che il percorso indicato è tale che prenda solo le righe pari del triangolo. Lo si può facilmente dimostrare osservando i percorsi fra le due righe.

HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 03 set 2006, 14:36

innanzitutto non è chiaro ciò che vuoi dire, in secondo luogo il triangolo di tartaglia aumenta di 1 elemento per ogni riga mentre i numeri che puoi ottenere con Q aumentano di 2 elementi per ogni riga, quindi temo sia sbagliato.

HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 03 set 2006, 14:59

scusami, risolvendo l'esercizio ho capito cosa volevi dire, Provo a spiegarlo meglio;
la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N . ovviamente chi conosce il binomio di newton può esprimere il risultato in maniera molto più elegante.

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 03 set 2006, 15:03

$ \frac 1{4^n} \binom {2n}{n+1} $

Levy
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Messaggio da Levy » 03 set 2006, 21:56

Ciao HomoPatavinus!
la probabilità di ottenere il numero K dopo N fasi è pari al coefficiente che trovi alla X che ha N+K come esponente nell'espressione (X+1)^2N moltiplicato per (1/4)^N .
Ti posso chiedere come hai fatto a dimostrarlo?

giackk83
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Messaggio da giackk83 » 05 set 2006, 09:19

Ciao a tutti,

mi potreste dire come si scrivono delle formule nel forum? Perchè ho una formula con il carattere "landa" e frazione e non so come scriverlo qui nel forum.

Grazie.

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 05 set 2006, 13:52

OT terribile, ma comunuque..

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Levy
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Messaggio da Levy » 08 set 2006, 15:18

Davvero mi interessa capire come si arriva alla formula di Simo :)
c'è qualche anima pia che me lo spiega?
grazie

tra l'altro a breve devo fare l'esame di Statistica...

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 08 set 2006, 16:10

Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
Ora, chiamiamo $ P'_{n,k} $ la probabilità che Q' valga k al tempo n.
Di certo, poichè n+k è due volte il numero degli incrementi positivi, n e k devono avere la stessa parità, altrimenti non è possibile che Q' valga k al tempo n. Inoltre, il sistema
$ p_++p_-=n $
$ p_+-p_-=k $
ha una sola soluzione per $ p_+,p_- $:
$ p_+=\dfrac{n+k}2 $$ p_-=\dfrac{n-k}2 $
Se questi due numeri sono interi, possiamo dire che la probabilità voluta è
$ P'_{n,k}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n+k}2}=\dfrac{1}{2^n}{n\choose\frac{n-k}2} $
in quanto basta scegliere in quali degli n istanti di tempo fare un passo avanti (o indietro) e nei restanti siamo obbligati a farlo nell'altra direzione.

Ora, abbiamo detto che $ P_{n,k}=P'_{2n,2k} $ e dunque
$ P_{n,k}=\dfrac{1}{2^{2n}}{2n\choose n+k} $

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Messaggio da CoNVeRGe. » 13 ago 2009, 12:01

EvaristeG ha scritto: Vediamo se riesco a farmi capire : supponi di avere una quantità Q', che ogni unità di tempo può diminuire o incrementare di 1 con probabilità 1/2 (NON rimane ferma). Ovviamente, la situazione del problema originale può essere vista come quella appena descritta, a patto di guardarlo ogni due unità di tempo e di dimezzare Q'.
Scusami ma non capisco questo passaggio...

La probabilità che la quantità Q dopo due intervalli di tempo sia -2,-1,0,+1,+2 è (rispettivamente) 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 (a meno di cavolate).

Mi sembra di capire che tu assumi che dopo un doppio intervallo di tempo la quantità non possa essere nulla.

Potresti spiegarmi? :D

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 14 ago 2009, 19:30

Semplicemente non hai capito cosa si raddoppia e cosa si dimezza.
La quantità che definisco io non guarda Q ogni 2 tempi, guarda Q ogni mezzo tempo.
Se tu consideri una quantità come quella che ho descritto io, dopo 2 unità di tempo, avrai 1/4 di probabilità che sia aumentata di 2, 1/4 di probabilità che sia diminuita di 2, 1/2 di probabilità che sia rimasta invariata.

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