Sns 2003-2004

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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evans
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Sns 2003-2004

Messaggio da evans » 26 ago 2006, 18:30

Si supponga che $ x^3+px^2+qx+r=0 $ abbia tre radici reali. dia $ d $ la differenza fra la radice maggiore e quella minore. Si dimostri che

$ \displaystyle \sqrt{p^2 - 3q} \leq d \leq \frac{2}{\sqrt 3} \sqrt{p^2-3q} . $


:!: è un Sns quindi soluzioni non molto complesse

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 26 ago 2006, 21:04


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simone256
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Re: Sns 2003-2004

Messaggio da simone256 » 18 mag 2013, 18:24

Yeah! Facile ma bello per chi è alle prime armi (come me :mrgreen: )
Il polinomio al primo membro è monico;
L'equazione ha tre radici reali quindi possiamo scriverla nella forma $ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0 $;
per la relazione tra radici e coefficienti di un polinomio monico abbiamo:
$ p=-(x_1+x_2+x_3) $
$ q=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 $;
senza perdita di generalità poniamo $ x_1\le x_2 \le x_3 $;
$ d=x_3-x_1 $.
Poniamo la condizione $ p^2 - 3q \ge 0 $
Tutti i tre membri della disuguaglianza sono maggiori o uguali a zero, quindi elevando al quadrato, sostituendo con $ p $ $ q $ e $ d $ con i rispettivi valori in funzione di $ x_1 $ $ x_2 $ e $ x_3 $ e dividendo la diseguaglianza in due parti otteniamo:
(1) $ x_2^2+x_3x_1 \le x_1x_2+x_2x_3 $
che è sempre vera per la disuguaglianza di riarrangiamento quindi essendo equivalente alla prima diseguaglianza dei primi due membri essa è verificata.
(2) $ (x_1+x_3-2x_2)^2 \ge 0 $
che è anch'essa sempre verificata quindi poiché equivalente alla seconda diseguaglianza anche lei è sempre verificata.

Quindi la diseguaglianza
$ \displaystyle \sqrt{p^2 - 3q} \leq d \leq \frac{2}{\sqrt 3} \sqrt{p^2-3q} $ è sempre verificata affinché rimaniamo all'interno del campo di esistenza $ p^2 - 3q \ge 0 $...
Spero funzioni e spero di non aver scritto stupidate :)
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

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