sns 2006-2007, es. 4

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hydro
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sns 2006-2007, es. 4

Messaggio da hydro » 02 set 2006, 01:09

In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze tali che la somma dei perimetri è pari a 10. Dimostrare che le circonferenze sono almeno 4 e che esiste una retta che ne interseca almeno 4.

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HumanTorch
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Messaggio da HumanTorch » 02 set 2006, 13:41

1. La circonferenza massima contenuta nel quadrato ha perimetro $ \pi $, quindi il numero di circonferenze è maggiore o uguale di $ \lceiling\frac{10}{\pi}\rceiling=4 $

2. Ce ne sono infinite: Proiettiamo su un lato qualsiasi le circonferenze, ottenendo quindi i diametri: la somma di questi diametri è $ \frac{10}{\pi} $ ; inoltre se n di queste proiezioni si sovrappongono, vuol dire che c'è un fascio di rette parallele, ognuna delle quali passa per le n circonferenze ed è perpendicolare al lato e passante per un punto di tale segmento-intersezione. Togliamo il numero di segmenti che corrisponde alle proiezioni che non si intersecano: questo sarà $ \leq 1 $; rimarrà l'unione delle proiezioni che si intersecano , che avrà lunghezza almeno $ \frac{10}{\pi}-1 $; reiterando il processo, cioè sottraendo le intersezioni di solo 2 circonferenze, ci rimangono le intersezioni di proiezioni di almeno 3 circonferenze. Ripetiamo, ottenendo quindi che le intersezioni di proiezioni di almeno 4 circonferenze hanno lunghezza almeno $ \{\frac{10}{\pi}\} $. Essendo questa lunghezza non negativa, ogni retta perpendicolare al lato in questione e passante per un punto di questi ultimi segmenti intersezioni di proiezioni di almeno quattro circonferenze è una retta che risponde alle ipotesi (l'ho spiegato come potevo, se avete dubbi chiedete :D )

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