La stanza 2... la vendetta!

[Cammy87]

Questo problema è tratto da quest'altro proposto da sqrt2, che è stato ingiustamente snobbato!

Allora supponiamo sempre di avere $ n $ uomini e $ m $ donne (con n<m) che entrano ad uno per volta in una stanza. Calcolare la probabilità che ad ogni passo (cioè ogni volta che una persona entra dentro la stanza) il numero delle donne all'interno sia strettamente maggiore di quello degli uomini.

P.S: Non so se sono stato abbastanza chiaro, la probabilità che voglio calcolare è quella che la sequenza con cui sono entrati gli uomini e le donne nella stanza sia tale che il numero degli uomini all'interno sia sempre stato strettamente minore di quello delle donne.

E' carino provateci!

[Nonno Bassotto]

Il problema è MOLTO bello, io lo conoscevo nella versione in cui due candidati ricevono voti uno alla volta. Ma non è uguale a quello postato da sqrt2?

[julio14]

Concordo con Nonno Bassotto: la risposta è uguale alla sol del problema di sqrt2 fratto la totalità delle sequenze (che non è così difficile da calcolare...)

In compenso però ha riportato in luce questo esercizio ancora insoluto.

[Cammy87]

Sì il problema è sostanzialmente uguale a quello di sqrt2, soltanto che qui si chiede la probabilità invece che il numero di percorsi favorevoli. La cosa particolare è che quando si semplifica la frazione casi favorevoli su casi possibili si ottiene un risultato abbastanza sorprendente (almeno lo è stato per me).

Comunque il mio scopo era sostanzialmente quello di risollevare il problema di sqrt2. (avrei potuto semplicemente risollevare il suo topic, scusate )

[moebius]

Prima di scrivere cavolate, è possibile che venga una roba del tipo (m-n)/(m+n)? Ovviamente a meno di gloriosi errori di calcolo...

[Cammy87]

Ormai non ti fidi troppo dei miei esercizi, eh eh!
Comunque sì il risultato è proprio quello!! Appena puoi posta la soluzione, sono curioso di sapere se è migliore di quella che so io!!

[moebius]

Bon, adesso sono un po' di fretta... e sono pure in piedi... quindi magari la scrivo today pm.
Spero di farla comprensibile senza dover fare un disegnino... speriamo!
Piuttosto ieri sera parlavamo del problema di $ ~\sqrt{2} $ e visto il risultato di quello ci chiedevamo se fosse possibile dedurre almeno quello in maniera un po' più cool!
Ma per adesso... niente

[moebius]

Speriamo si capisca... dunque...
Diciamo che ci sono $ ~m $ donne e $ ~n $ uomini.
Leviamoci di torno subito i casi banali. Se $ ~n=0 $ allora le donne possono entrare in un modo solo (sarà un po' gay pride ma... fa nulla). Quindi ho $ ~1 $ modo possibile. Da ora in poi supporrò quindi $ ~n \geq 1 $.
Chiamo configurazione una sequenza di uomini e donne che entra nella stanza.
Voglio contare le configurazioni che non soddisfano la richiesta del problema.
Dividiamole in due sottoinsiemi che non si intersecano e che coprano tutte le configurazioni sbagliate:
1) Il primo elemento della configurazione è un uomo, allora la configurazione è sbagliata. Le configurazioni di questo tipo sono facili da contare e sono $ ~m+n-1 \choose n-1 $.
2) Il primo elemento della configurazione è una donna. Ecco... qua ci stava bene il disegnino... vediamo se riesco a spiegarmi senza.
Immaginate una scacchiera $ ~\left(m-1\right)\times n $. Il vertice in basso a sinistra avrà coordinate $ ~\left(0,0\right) $ e quello in alto a sinistra $ ~\left(m-1, n\right) $. Tracciate la retta $ ~r $ a $ ~45° $ che passa per $ ~\left(0,1\right) $. Allora le configurazioni che vogliamo contare sono tante quanti i "percorsi" (passatemi il termine, a questo punto dovrebbe essere chiaro cosa intendo) da $ ~\left(0,0\right) $ a $ ~\left(m-1, n\right) $ che intersecano $ ~r $. Quanti sono?
Mettiamoli in corrispondenza biunivoca con qualcosa di più facile da contare. Prendiamo un percorso di quelli che ci interessano. Questo incontra la retta $ ~r $ per la prima volta in un punto. Riflettiamo la parte che va dall'origine a tale punto rispetto ad $ ~r $ e lasciamo il resto inaltearto. Abbiamo ottenuto un percorso che va da $ ~\left(-1,1\right) $ a $ \left(m-1,n\right) $ in modo iniettivo.
Viceversa, preso un percorso da $ ~\left(-1,1\right) $ a $ \left(m-1,n\right) $, questo deve prima o poi incontrare la retta $ ~r $. Riflettiamo la parte che va da $ ~\left(-1,1\right) $ a $ \left(m-1,n\right) $ a tale punto rispetto ad $ ~r $ e lasciamo il resto inaltearto. Abbiamo ottenuto un percorso del tipo di quelli che ci interessano in maniera inettiva.
Morale della favola, le cose che volevamo contare sono tante quante i percorsi da $ ~\left(-1,1\right) $ a $ \left(m-1,n\right) $, che sono di nuovo $ ~m+n-1 \choose n-1 $.

Quindi le configurazioni buone sono $ ~{m+n \choose n} - 2 \cdot {m+n-1 \choose n-1} = \frac{m-n}{m+n} {m+n \choose n} $
La probabilità sarà quindi $ ~\frac{m-n}{m+n} $.
Le parti poco approfondite sono lasciate come esercizio per il lettore volenteroso
Le cavolate sono lasciate alla pietà di chi legge

[Cammy87]

Ok moebius! Mi pare che sia tutto a posto!
E' sostanzialmente la stessa soluzione che avevo anche io, l'unico punto che mi lasciava un po' perplesso, era come mettere in bigezione i due percorsi, ma come hai spiegato te è chiaro e mi ha tolto ogni dubbio.

Per quanto riguarda il problema originariamente proposto da $ \displaystyle \sqrt2 $ per ora non ho trovato niente di buono (anche se a dir la verità ora ho smesso di pensarci), anche avendo risolto questa prima parte. Mi pare che lui avesse tentato di costruire una successione per esprimere le possibili configurazioni che si possono presentare ad ogni passo, ma senza buoni risultati.

P.S: Complimenti per la soluzione al problema delle palline e delle barrette, mi è piaciuta molto!

[moebius]

Per quello che riguarda la parte proposta da sqrt2, con questa parte svolta e giocando con la simmetria dei coefficienti binomiali si riesce a fare, ma per come era proposto sembrava che ci fosse una via "alternativa". Anche perché il risultato è abbastanza carino da far pensare che in realtà si può fare contando qualcos'altro... Ma si sa, c'è sempre una risposta facile... E sbagliata... io spero ancora che non sia questo il caso