Un gruppo di funzioni con punti fissi

[edriv]

G è un insieme di funzioni lineari non costanti da R in R tale che:
- se f,g appartengono a G anche la loro composizione appartiene a G
- se f appartiene a G anche la sua inversa appartiene a G

Ogni funzione di G ha un punto fisso. Dimostrare che hanno tutto lo stesso punto fisso.

[FeddyStra]

L'insieme $ G $ deve essere finito o può anche essere infinito?
Perchè con $ G $ infinito mi sembra che non funzioni...

[genius88]

Le ultime due frasi sono un pò oscure!
cosa vuol dire che "Ogni funzione di G ha un punto fisso" ?
l' interpretazione che mi pareva più ovvia è proprio ciò che dopo mi pare di capire mi chiedi di dimostrare! (Dimostrare che hanno tutt("o" o "e" ) lo stesso punto fisso)
bello però il primo pezzo!

[edriv]

$ ~ (\forall f \in G) (\exists x \in \mathbb{R}) (f(x) = x) \Rightarrow (\exists x \in \mathbb{R}) (\forall f \in G ) (f(x)=x) $

Spero apprezzerete la simmetria della nuova enunciazione.

[Marco]

G è un insieme di funzioni lineari

Dàcci la tua definizione di "funzione lineare".

Altrimenti, con la definizione standard si ha che f(0) = 0, quindi il problema risulta banale.

[edriv]

Ooops che strafalcione!

Scusate, volevo dire delle rette.
Cioè $ ~ f(x) = ax+b $.

[pic88]

Dimostriamo che due funzioni nel gruppo con lo stesso coefficiente angolare, hanno lo stesso termine noto: $ {f(x)=ax+b,g(x)=ax+c, f, g \in G \Rightarrow b=c} $.
In effetti $ f^{-1}\circ g = \frac 1a (ax+c - b) = x + \frac{c-b}a $ e se quest'ultima sta in G (come deve essere), allora c=b, altrimenti niente punti fissi.

Se poi $ f=a_1(x-x_1)+x_1 $ e $ g=a_2(x-x_2)+x_2 $ con f e g diverse dall'identità, abbiamo che fog e gof hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi scrivendo l'uguaglianza dei termini noti otteniamo

$ \displaystyle -a_1a_2x_2+a_1x_2-a_1x_1+x_1=-a_2a_1x_1+a_2x_1-a_2x_2+x_2 $ ossia

$ x_2(a_1a_2-a_1-a_2+1)=x_1(a_1a_2-a_1-a_2+1) $, ma la roba tra parentesi è uguale a $ {(1-a_1)(1-a_2)} $ che per ipotesi è diverso da zero; semplificando viene la tesi.