Proprietà del punto di Lemoine

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

dimostrare che in un triangolo le rette che uniscono i punti medi di un lato a della relativa altezza concorrono nel punto di lemoine.

Non sono accettete le trilineari

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

qualcuno ha una soluzione?

[edriv]

È abbastanza equivalente a usare le trilineari, ma vabbeh...
In figura L è il punto di Lemoine, il problema è equivalente a dimsotrare che N,L,M sono allineati. Per far questo cerchiamo di usare Menelao su ADE:
$ ~ \frac{AN}{ND} \frac{DM}{ME} \frac{EL}{LA} = 1 $
Ma essendo AN/ND = 1, basta far vedere che:
$ ~ \frac{DM}{ME} = \frac{AL}{LE} $
Ora, poichè il piede della simmediana divide il lato in rapporto ai quadrati degli altri due lati, e per un altro fatto noto, possiamo calcolare che:
$ ~ \frac{AL}{LE} = \frac{b^2+c^2}{a^2} $.
Per calcolare DM uso questo trucchetto che conoscevo:
$ ~ 2DM \cdot a = (CD - BD)\cdot(CD + BD) = CD^2 - BD^2 $$ ~ = (CD^2 + AD^2) - (BD^2 + AD^2) = b^2 - c^2 $
Quindi $ ~ DM = \frac{b^2-c^2}{2a} $.
Resta da trovare ME. Sapendo che $ ~ \frac{BE}{EC} = \frac{c^2}{b^2} $ e $ ~ BE + EC = a $ troviamo $ ~ ME = \frac a2 - \frac{ac^2}{c^2+b^2} $

Ora, buttando tutto dentro, dovrebbe tornare... (e torna, ho controllato)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

tutto torna grazie per la soluzione

[EvaristeG]

Considera le antiparallele ai lati passanti per il punto di Lemoine; cmq ne prendi due queste formano le diagonali di un rettangolo inscritto e quindi Lemoine è centro contemporaneo di 3 rettangoli inscritti, per cui (TST 07) è intersezione dei tre segmenti che congiungono il punto medio di un lato con il punto medio dell'altezza relativa.

Ah, prima di spararle grosse su mathlinks, assicurati di avere una dimostrazione...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

si hai ragione era una proprietà che pensavo ovvia
certo non andrò a mettere la tua soluzione o quella di edriv su mathlinks (apparte che l'hai già messa)...
e poi era doveroso intervenire, uno sosteneva che concorressero nell'incentro