Pianetuncoli (sns 90/91)

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mitchan88
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Pianetuncoli (sns 90/91)

Messaggio da mitchan88 » 16 lug 2007, 21:19

si considerino due corpi sferici (solidi) di massa m e raggio r, orbitanti attorno ad un pianeta di massa M su uno stesso piano, nello stesso verso e su orbite circolari di raggio R+r e R-r rispettivamente, con r>>R.
Supponiamo inizialmente che essi siano abbastanza distanti tra loro in modo da poter trascurare la mutua attrazione gravitazionale.

a)Si calcoli di quanto differiscono le loro velocità angolari dalla velocitò angolare ω0 che avrebbero se si muovessero sull'orbita di raggio R.

b)Quale forza oltre a quella del pianeta occorre esercitare su ciascuno dei due corpi affinchè essi possano ruotare su orbite di raggi R-r e R+r ma a velocità ω0?

Consideriamo ora la situazione in cui idue corpi, per effetto della loro mutua attrazione gravitazionale, ruotano ancora su orbite di raggio R+r e R-r ma a contatto fra loro.

c)Tenuto conto del risultato del punto b), si determini in funzione di m, M, r, R la disuguaglianza cche rende possibilie questa situazione.

d)Supponendo uguali le densità dei corpi e del pianeta, si riduca la relazione ricavata in c) ad una disuguaglianza fra R ed i raggio R0 del pianeta.

e)Che cosa si può concludere in merito alla formazione di satelliti o di anelli attorno ad un pianeta?

In tutto il problema si approssimi (1±r/R)^a con 1±ar/R

Good luck ;)
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donchisciotte
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Messaggio da donchisciotte » 17 lug 2007, 01:50

interessante ma calcoloso
a)Per la terza legge di keplero T²/R³ è costante da cui si può ricavare che ω²=G*M/r³ quindi ω0=G*M/R³ ; ω1=G*M/(R-r)³ ; ω2=G*M/(R+r)³ da cui le differenze si calcolano facilmente
b)dato che l'orbita non cambia la risultante delle forze deve essere nulla quindi la forza incognita deve essere opposta a quella derivante dall'aumento di velcità. quindi F1=ω0²(R-r) - ω1²(R-r)=(ω0² - ω1²)*(R-r) e sarè rivolta verso il pianeta
F2=ω0²(R+r) - ω2²(R+r)=(ω0² - ω2²)*(R+r) è ovvio che nel secondo caso la direzione della forza è opposta alla prima (scusate ma nn ho testa per i calcoli)
per il resto vedrò domattina con la capa fresca... :)
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 17 lug 2007, 16:32

Il problema si potrebbe intitolare: "Fare i conti.". Detto questo, facendo i conti (spero di averli fatti bene), si trova:

1.) $ w_1-w_0 = \sqrt{\frac{3GMr}{R(R-r)^3}} $
$ w_0-w_2 = \sqrt{\frac{3GMr}{R(R+r)^3}} $

2.)$ F_1 = -3GMm \frac{3}{R(R-r)^2} $ dove il segno meno indica che va verso l'esterno.
$ F_1 = +3GMm \frac{3}{R(R+r)^2} $ dove il segno più indica che va verso l'interno.

3.)Ideine: il centro di massa dei due corpi sta nel punto di contatto, e quindi si muove a velocità angolare $ w_0 $; tra i corpi c'è una forza di contatto N che li respinge, ma non può di certo farli allontanare. Perciò la disuguaglianza si impone mettendo che questa forza sia maggiore di zero sul primo pianeta e minore di zero sul secondo. Se $ g_1 $ è la forza con cui il primo pianeta è attratto dal secondo, in modulo bisogna avere $ g_1 \geq F_1 $ da cui si ricava:

$ \frac{m}{12M} \geq \frac{r^3}{R(R-r)^2} $

4.)Abbiamo $ \frac{m}{M} = \frac {r^3}{R_0^3} $. Allora, facendo i conti:

$ R(R-r)^2 \geq 12 R_0^3 $ da cui
$ R^3 > 12 R_0^3 $

5.)Boh, non so cosa vogliono sentirsi dire veramente... Forse che eventuali satelliti o anelli (soprattutto questi, visto che di satelliti a contatto non credo se ne vedano spesso...) che si trovano a contatto tra loro devono stare almeno a 2,5 volte il raggio del pianeta intorno a cui orbitano.

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