1983-1984 SNS

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angus89
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1983-1984 SNS

Messaggio da angus89 » 25 nov 2007, 13:09

Due amici si sono iscritti alla prima classe di un liceo.
Tale liceo ha due sezioni le due prime classi hanno rispettivamente n e m studenti, con m e n compresi fra 20 e 30.
Sapendo che la probabilità che i due amici si trovino nella stessa classe è 1/2, dite quanti sono gli studenti nelle due classi
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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jordan
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Messaggio da jordan » 25 nov 2007, 13:37

$ p= \frac {2nm}{(n+m)^2} = \frac {1}{2} $ da cui n=m
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 25 nov 2007, 14:11

Vediamo di scriverla in altro modo...

In che modo esprimo che i due si trovino nella stessa classe?

Ho $ m+n $ elementi da distribuire in due classi. Se voglio che i due amici stiano insieme li devo considerare come elemento singolo. Quindi ora ne ho $ m+n-1 $.
Definendo il gruppo di una classe ho di conseguenza l'altro.

In quanti modi metto $ m+n-1 $ persone a gruppi di $ n $? $ \displaystyle \left {m+n-1} \choose{m} $.

Se invece considero che i due amici possono essere insieme oppure no ho $ \displaystyle \left {m+n} \choose{m} $ combinazioni .

Quindi $ \displaystyle P= \frac{\left {m+n-1} \choose{m}}{\left {m+n} \choose{m}} $ che da proprio $ m=n $ se $ P=\frac{1}{2} $.

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 25 nov 2007, 15:11

Dunque vediamo... I modi di formare le classi sono, come è già stato detto, $ {{m+n} \choose m} $
In che modi posso mettere insieme i due amici? Se sono nella classe da m studenti, devo fissare gli altri m-2 compagni, dunque ho $ {{m+n-2} \choose m-2} $ modi, e similmente ho $ {{m+n-2} \choose n-2} $ modi per metterli nella classe da n studenti.
Fate tanti conti, e viene $ (m-n)^2=m+n $. Dunque $ 40 \leq m+n \leq 60 \Rightarrow 40 \leq (m-n)^2 \leq 60 $ e m+n è un quadrato. Dunque $ m+n=49 $. Perciò $ m-n=7 $ e dunque le due classi hanno 28 e 21 studenti.
Fate un po' una prova con 4 studenti e due classi da due... se ho capito bene il testo, si intende, io non ci credo che la probabilità sia un mezzo!

Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 25 nov 2007, 15:22

darkcrystal ha scritto: Fate tanti conti, e viene $ (m-n)^2=m+n $.
Scusa, non ho capito una cosa: perchè metti l'uguaglianza?

EDIT: scherzavo, capito 8)

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wolverine
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Messaggio da wolverine » 25 nov 2007, 19:10

Aggiungo una brevissima postilla a quanto scritto dall'ottimo darkcristal. La probabilita' che entrambi gli amici si trovino nella classe con $ m $ elementi, che come abbiamo visto e'

$ \frac{\binom{m+n-2}{m-2}}{\binom{m+n-2}{m-2}}=\frac{m(m-1)}{(m+n)(m+n-1)} $

puo' essere calcolata anche nel seguente modo, che richiede forse un po' meno abilita' combinatoria (non che il metodo originale ne richiedesse troppa...) e ci permette di ripassare qualche nozioncina di probabilita' :)

Indichiamo con $ A $ l'evento "Tizio e' nella classe con $ m $ elementi" e con $ B $ l'evento "Caio e' nella classe con $ m $ elementi". Allora quel che ci interessa e' $ P(A\cap B) $. A questo punto ci ricordiamo che

$ P(A\cap B)= P(B|A)\cdot P(A) $

dove $ P(B|A) $ e' la probabilita' che si verifichi $ B $ sapendo che si e' verificato $ A $, ovvero la probabilita' che Caio si trovi nella classe con $ m $ elementi se Tizio si trova nella classe con $ m $ elementi.

E' immediato calcolare

$ P(A)=\frac{m}{m+n}; \qquad P(B|A)=\frac{m-1}{m+n-1} $

e se ne ricava

$ P(A\cap B)= \frac{m(m-1)}{(m+n)(m+n-1)} $
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angus89
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Messaggio da angus89 » 25 nov 2007, 19:45

Bè si io sono agli inizio della combinatoria e effettivamente credo che wolverine abbia ragione cmq ecco i miei ragionamenti

Soluzione
Per sapere quanti modi ci sono per formare due classi utilizziamo le partizioni...
$ m+n $ sono tutti gli alunni
$ m $ e $ n $ sono il numero di persone ke ci sono nelle varie classi
Con le partizioni noi stabiliamo in quanti modi possiamo creare da un insieme di $ m+n $
elementi, due sottoinsiemi di $ m $ e $ n $ elementi...
Quindi ci troviamo di fronte ad una partizione ordinata
$ \displaystyle \left {m+n} \choose{m,n} $

benissimo...questi sono tutti i modi di formare le due classi
A questo punto stupidamente si potrebbe dire che basta dividere per due per ottenere in quanti modi
I due amici si trovano insieme...
Appunto stupidamente visto che ciò non porterebbe a nessuna parte...

Ora vediamo invece seriamente come bisogna ragionare...
In quanti modi i due amici possono trovarsi nella classe di $ n $ alunni?
In quanti modi i due amici possono trovarsi nella classe di $ m $ alunni?

I due casi non sono equivalenti...
Allora...il discorso è lo stesso ma è qui che mi blocco io...
Volendo rigirare il problema si potrebbe pensare di cambiare esempio...e dire in qaunti modi posso
distribuire un certo numero di oggetti a due persone se l'oggetto uno e l'oggetto due devono esser distribuiti insieme?

Bene basta rispondere q eusta domanda per finire il problema...ma io non riesco a rispondere

Per favore in ogni caso qualcuno può rispondere a questa domanda...
in qaunti modi posso distribuire un certo numero di oggetti a due persone se l'oggetto uno e l'oggetto due devono esser distribuiti insieme?
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

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jordan
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Messaggio da jordan » 25 nov 2007, 20:54

madooo.........ancora non rifacevo uno sbaglio del genere da anni...
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