OliForum Matematico

Boh, il meglio che trovo: sia data una funzione $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Dimostrare che, se

\[f(x+24)\le f(x)+24;\hspace{1cm}f(x+77)\ge f(x)+77;\]

allora $f(x+1)=f(x)+1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.

Direi che va bene (a parte la strana tendenza a chiamare $LHS$ qualsiasi cosa) :D Lol! Non me n'ero accorto! ;) ;) ;) Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte. Sì, ho visto dopo :) Grazie. Posterò il prossimo p...

Boh, non ho capito se la somma $\sum_{i\neq j} a_ia_j$ conti ogni singolo $a_ka_h$ una volta sola oppure due volte (come $a_ka_h$ e come $a_ha_k$). Detto questo, e supposta la seconda ipotesi (cioè che viene contato due volte), credo di aver trovato la migliore costante, che tra l'altro è $C(n)$ qua...

Posso chiedere (a nome di tutti, credo) un piccolo hint ?

Sì, ok, è vero anche questo Però quando sei a:

\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]

Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi

Ah, ok! Grazie mille!

Ah, sì, giusto! Usando Titu, devo dire che $ab+ac-a^2$ e cicliche sono maggiori di $0$, poiché se fosse $ab+ac-a^2\le0$, non potrei applicare Titu: infatti è Cauchy-Schwarz sulle $3$-uple $\{a^2/\sqrt{ab+ac-a^2}\}$ e $\{\sqrt{ab+ac-a^2}\}$, ma se $ab+ac-a^2\le0$, la sua radice non sta in $\mathbb{R}...

Sì, si fa anche per riarrangiamento. È vera anche per AM-GM, o per somma di quadrati; ma questo non nega che bunching sia più bello.

Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1. Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene? ;) P.S.: Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie Cred...

A quanto rimembro da quanto ho fatto per il Senior (era tra i problemi di ammissione) il risultato era $n=2014$

(le somme sono tutte cicliche) Moltiplico numeratore e denominatore per $a$: \[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\] Uso il lemma di Titu e ottengo: \[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\] Ora mi basta dimostrare che \[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6...

Sì, ma se $ABC$ è equilatero allora $O=G$. Le coordinate sarebbero $(\sin2\alpha:\sin2\beta:\sin2\gamma)$, ma $\alpha=\beta=\gamma$, quindi divido e ho $(1:1:1)$.

Riporto questo problema dal PreIMO 2011, di cui cerco una soluzione decente (leggasi: non in baricentriche). Sia $ABC$ un triangolo equilatero e sia $O$ il suo circocentro. Sia $M$ un punto del segmento $BC$ e siano $K$ ed $L$ le proiezioni di $M$ sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente. Dimostrare ch...

Di niente, sono qui per questo

Se hai altri problemi, sei il benvenuto! Io od altri ti risponderemo volentieri!

Grazie per i complimenti! ;) Cerco di spiegare al meglio, ma chiaramente non è facile spiegare qui, servirebbe sentire una spiegazione "dal vivo" per capire meglio :) Per il resto: no, aspetta. Io sopra ho riportato $6$ soluzioni, e non $3$; e inoltre $6!$ (sei fattoriale) non fa $6$, bens...