Bocconi fase italiana 2014

[nuoveolimpiadi1999]

Il prodotto di tre numeri primi è uguale a 19 volte la loro somma.
Quali sono questi tre numeri?


Fornire la spiegazione risolutiva, chiara ed esauriente. Grazie

[Talete]

Si deve avere che
\[pqr=19(p+q+r).\]
Osserviamo modulo $19$. Allora $pqr\equiv0$, quindi uno (ed esattamente uno) dei tre primi è $19$. Wlog sia $p$.
\[qr=19+q+r \Rightarrow q=\frac{19+r}{r-1}=1+\frac{20}{r-1}.\]
Quindi si deve avere che $r-1\mid 20$. Quindi, i valori positivi che può assumere $r$ sono $2$, $3$, $5$, $6$, $11$, $21$: tra questi i primi sono $2$, $3$, $5$ ed $11$ e i casi in cui anche $q$ è primo sono $3$ ($q=11$) e $11$ ($q=3$). Dunque, le soluzioni sono:
\[(p,q,r)\hspace{0.5cm}=\hspace{1cm}(3,11,19);\hspace{1cm}(3,19,11);\hspace{1cm}(11,3,19);\hspace{1cm}(3,19,11);\hspace{1cm}(19,3,11);\hspace{1cm}(19,11,3).\]
È giusto?

[nuoveolimpiadi1999]

Credo sia giusto solo ti chiedo se per favore puoi spiegarmi il significato di modulo e di wLog. Grazie

[Talete]

Ok, certamente. Wlog è semplicemente una sigla, significa "without loss of generality", cioè "senza perdita di generalità": posso dire che $p=19$ senza perdere la generalità perché alla fine mi basta cambiare e ricordarmi di mettere $q=19$ e $r=19$.
Si dice "$a$ è congruo a $b$ modulo $m$" e si scrive
\[a\equiv b \pmod{m}\]
quando $a$ e $b$, divisi per $m$, danno lo stesso resto. In particolare, $a\equiv b\pmod{m}$ implica che $m$ divide $(a-b)$; e $a\equiv 0\pmod{m}$ implica che $m$ divide $a$. Nel nostro caso $pqr\equiv 0\pmod{19}$, quindi si deve avere che $19$ divida $pqr$: siccome $p$, $q$ ed $r$ sono primi distinti, si ha che uno ed esattamente uno di essi è divisibile per $19$, ma siccome è primo è $19$ stesso: scelgo appunto wlog, cioè senza perdere generalità, che $p=19$.
Tutto chiaro?

[nuoveolimpiadi1999]

Devo dire che a spiegare non sei molto bravo peró hai molta passione in quello che fai e sei pronto a spiegare in modo più chiaro possibile, ti faccio quindi i miei complimenti, sei grande!
Comunque ritornando al problema le soluzioni non sarebbero 3 come hai riportato tu, ma sarebbero 6 perchè i tre numeri primi li posso prendere in qualsiasi ordine, quindi le terne totali possibili sono i modi in cui posso mettere i tre numeri primi ossia 6! (fattoriale) che fa appunto 6. (Quindi alle soluzioni che hai detto ne vanne aggiunte 3 semplicemente scambiando di ordine i tre numeri primi, comunque bastava trovare i numeri non importava l'ordine ma meglio così)

[Talete]

Grazie per i complimenti! Cerco di spiegare al meglio, ma chiaramente non è facile spiegare qui, servirebbe sentire una spiegazione "dal vivo" per capire meglio

Per il resto: no, aspetta. Io sopra ho riportato $6$ soluzioni, e non $3$; e inoltre $6!$ (sei fattoriale) non fa $6$, bensì $720$. Al massimo è $3!$ (tre fattoriale) che fa $6$ e che è il numero di soluzioni.

[nuoveolimpiadi1999]

Pardon, hai perfettamente ragione. Comunque si le soluzioni sono 6 (forse ne ho viste solo 3 perchè mi sto collegando dall'iPhone.

Concludo dicendo che sono molto soddisfatto, il problema è stato risolto perfettamente e in pochissimo tempo. grazie!

[Talete]

Di niente, sono qui per questo

Se hai altri problemi, sei il benvenuto! Io od altri ti risponderemo volentieri!