Bocconi fase italiana 2014
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Bocconi fase italiana 2014
Il prodotto di tre numeri primi è uguale a 19 volte la loro somma.
Quali sono questi tre numeri?
Fornire la spiegazione risolutiva, chiara ed esauriente. Grazie
Quali sono questi tre numeri?
Fornire la spiegazione risolutiva, chiara ed esauriente. Grazie
Re: Bocconi fase italiana 2014
Si deve avere che
\[pqr=19(p+q+r).\]
Osserviamo modulo $19$. Allora $pqr\equiv0$, quindi uno (ed esattamente uno) dei tre primi è $19$. Wlog sia $p$.
\[qr=19+q+r \Rightarrow q=\frac{19+r}{r-1}=1+\frac{20}{r-1}.\]
Quindi si deve avere che $r-1\mid 20$. Quindi, i valori positivi che può assumere $r$ sono $2$, $3$, $5$, $6$, $11$, $21$: tra questi i primi sono $2$, $3$, $5$ ed $11$ e i casi in cui anche $q$ è primo sono $3$ ($q=11$) e $11$ ($q=3$). Dunque, le soluzioni sono:
\[(p,q,r)\hspace{0.5cm}=\hspace{1cm}(3,11,19);\hspace{1cm}(3,19,11);\hspace{1cm}(11,3,19);\hspace{1cm}(3,19,11);\hspace{1cm}(19,3,11);\hspace{1cm}(19,11,3).\]
È giusto?
\[pqr=19(p+q+r).\]
Osserviamo modulo $19$. Allora $pqr\equiv0$, quindi uno (ed esattamente uno) dei tre primi è $19$. Wlog sia $p$.
\[qr=19+q+r \Rightarrow q=\frac{19+r}{r-1}=1+\frac{20}{r-1}.\]
Quindi si deve avere che $r-1\mid 20$. Quindi, i valori positivi che può assumere $r$ sono $2$, $3$, $5$, $6$, $11$, $21$: tra questi i primi sono $2$, $3$, $5$ ed $11$ e i casi in cui anche $q$ è primo sono $3$ ($q=11$) e $11$ ($q=3$). Dunque, le soluzioni sono:
\[(p,q,r)\hspace{0.5cm}=\hspace{1cm}(3,11,19);\hspace{1cm}(3,19,11);\hspace{1cm}(11,3,19);\hspace{1cm}(3,19,11);\hspace{1cm}(19,3,11);\hspace{1cm}(19,11,3).\]
È giusto?
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"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: Bocconi fase italiana 2014
Credo sia giusto solo ti chiedo se per favore puoi spiegarmi il significato di modulo e di wLog. Grazie
Re: Bocconi fase italiana 2014
Ok, certamente. Wlog è semplicemente una sigla, significa "without loss of generality", cioè "senza perdita di generalità": posso dire che $p=19$ senza perdere la generalità perché alla fine mi basta cambiare e ricordarmi di mettere $q=19$ e $r=19$.
Si dice "$a$ è congruo a $b$ modulo $m$" e si scrive
\[a\equiv b \pmod{m}\]
quando $a$ e $b$, divisi per $m$, danno lo stesso resto. In particolare, $a\equiv b\pmod{m}$ implica che $m$ divide $(a-b)$; e $a\equiv 0\pmod{m}$ implica che $m$ divide $a$. Nel nostro caso $pqr\equiv 0\pmod{19}$, quindi si deve avere che $19$ divida $pqr$: siccome $p$, $q$ ed $r$ sono primi distinti, si ha che uno ed esattamente uno di essi è divisibile per $19$, ma siccome è primo è $19$ stesso: scelgo appunto wlog, cioè senza perdere generalità, che $p=19$.
Tutto chiaro?
Si dice "$a$ è congruo a $b$ modulo $m$" e si scrive
\[a\equiv b \pmod{m}\]
quando $a$ e $b$, divisi per $m$, danno lo stesso resto. In particolare, $a\equiv b\pmod{m}$ implica che $m$ divide $(a-b)$; e $a\equiv 0\pmod{m}$ implica che $m$ divide $a$. Nel nostro caso $pqr\equiv 0\pmod{19}$, quindi si deve avere che $19$ divida $pqr$: siccome $p$, $q$ ed $r$ sono primi distinti, si ha che uno ed esattamente uno di essi è divisibile per $19$, ma siccome è primo è $19$ stesso: scelgo appunto wlog, cioè senza perdere generalità, che $p=19$.
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Re: Bocconi fase italiana 2014
Devo dire che a spiegare non sei molto bravo peró hai molta passione in quello che fai e sei pronto a spiegare in modo più chiaro possibile, ti faccio quindi i miei complimenti, sei grande!
Comunque ritornando al problema le soluzioni non sarebbero 3 come hai riportato tu, ma sarebbero 6 perchè i tre numeri primi li posso prendere in qualsiasi ordine, quindi le terne totali possibili sono i modi in cui posso mettere i tre numeri primi ossia 6! (fattoriale) che fa appunto 6. (Quindi alle soluzioni che hai detto ne vanne aggiunte 3 semplicemente scambiando di ordine i tre numeri primi, comunque bastava trovare i numeri non importava l'ordine ma meglio così)
Comunque ritornando al problema le soluzioni non sarebbero 3 come hai riportato tu, ma sarebbero 6 perchè i tre numeri primi li posso prendere in qualsiasi ordine, quindi le terne totali possibili sono i modi in cui posso mettere i tre numeri primi ossia 6! (fattoriale) che fa appunto 6. (Quindi alle soluzioni che hai detto ne vanne aggiunte 3 semplicemente scambiando di ordine i tre numeri primi, comunque bastava trovare i numeri non importava l'ordine ma meglio così)
Re: Bocconi fase italiana 2014
Grazie per i complimenti! Cerco di spiegare al meglio, ma chiaramente non è facile spiegare qui, servirebbe sentire una spiegazione "dal vivo" per capire meglio
Per il resto: no, aspetta. Io sopra ho riportato $6$ soluzioni, e non $3$; e inoltre $6!$ (sei fattoriale) non fa $6$, bensì $720$. Al massimo è $3!$ (tre fattoriale) che fa $6$ e che è il numero di soluzioni.
Per il resto: no, aspetta. Io sopra ho riportato $6$ soluzioni, e non $3$; e inoltre $6!$ (sei fattoriale) non fa $6$, bensì $720$. Al massimo è $3!$ (tre fattoriale) che fa $6$ e che è il numero di soluzioni.
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Re: Bocconi fase italiana 2014
Pardon, hai perfettamente ragione. Comunque si le soluzioni sono 6 (forse ne ho viste solo 3 perchè mi sto collegando dall'iPhone.
Concludo dicendo che sono molto soddisfatto, il problema è stato risolto perfettamente e in pochissimo tempo. grazie!
Concludo dicendo che sono molto soddisfatto, il problema è stato risolto perfettamente e in pochissimo tempo. grazie!
Re: Bocconi fase italiana 2014
Di niente, sono qui per questo
Se hai altri problemi, sei il benvenuto! Io od altri ti risponderemo volentieri!
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