OliForum Matematico

Si, certamente valgono anche per i reali, ma la domanda era un pò insensata... Era lecito prendere dei razionali quindi più che domandare poteva dare un consiglio... Ad ogni modo, grazie per il vostro aiuto!

Scusatemi, perché \mathbb{Q} ?
Non credo ci sia qualcosa di sbagliato in questo, è una ipotesi dell'esercizio...

Ho risolto questa disuguaglianza come segue (sempre con a,b,c razionali):

(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \geq 8a^2b^2c^2

(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) - 8a^2b^2c^2 \geq 0
a^4b^2+a^4c ...

Ah! si hai ragione, grazie .

$ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq abc(a + b + c) $
$ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 \geq 2abc(a + b + c) $
$ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 -2a^2bc - 2ab^2c - 2abc^2\geq 0 $
$ {(ab-bc)}^2 + {(ab-ca)}^2 + {(bc-ca)}^2 \geq 0 $

\mbox{Dimostrare che}\; \forall \, a,\,b,\,c,\,\in\,\mathbb{Q}\;\mbox{vale:}

a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq abc(a + b + c)

a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq abc(a + b + c)
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 \geq 2abc(a + b + c)
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 -2a^2bc - 2ab^2c - 2abc^2\geq 0
{(ab-bc)}^2 ...

Chiarissimo grazie, questo concetto mi sfuggiva .

Ragazzi scusate le mille domande ma preferisco farle adesso ed eliminare i dubbi che mi bloccano piuttosto che portarmi tutto dietro...
Potreste spiegarmi un punto del riarrangiamento?

a\cdot a + b \cdot b + c \cdot c \geq a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a

Con a \geq b \geq c , abbiamo:

a ...

Capito, grazie mille a tutti e due.

@Pak - P.S. Credo che tu abbia commesso una errore nella prima dimostrazione, hai messo un $ c^2 $ al posto di un $ a^2 $ (terza riga).

Un saluto a tutti gli utenti! Scusate se ho evitato di presentarmi nella sezione dedicata ma messaggi come quelli di presentazione e descrizione mi mettono in crisi :) . Ho una domanda da porvi sulle disuguaglianze in quanto è la prima volta che mi dedico ad un problema simile.


\mbox{Dimostrare ...