Prima disuguaglianza!

[InTheDark]

Scusatemi, perché $ \mathbb{Q} $?

Non credo ci sia qualcosa di sbagliato in questo, è una ipotesi dell'esercizio...

Ho risolto questa disuguaglianza come segue (sempre con a,b,c razionali):

$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \geq 8a^2b^2c^2 $

$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) - 8a^2b^2c^2 \geq 0 $
$ a^4b^2+a^4c^2+a^2c^4+a^2b^4+b^4c^2+b^2c^4-6a^2b^2c^2 \geq 0 $
$ (a^2b)^2 +(a^2c)^2+(ac^2)^2+(ab^2)^2+(b^2c)^2+(bc^2)^2-6a^2b^2c^2 \geq 0 $
$ (a^2b-b^2c)^2+(a^2c-b^2c)^2+(ac^2-ab^2)^2 \geq 0 $

Quindi anche qui si è ridotto tutto ad una somma di quadrati ma potreste mostrarmi lo svolgimento dell'esercizio con uno dei metodi elencati prima? Magari il più veloce?


Grazie della pazienza ...

[exodd]

quello che evaristeg intendeva è che sarebbe stato lo stesso con le variabili reali..

[pak-man]

Scusatemi, perché $ ~\mathbb{Q} $?

Non credo ci sia qualcosa di sbagliato in questo, è una ipotesi dell'esercizio...

Nulla di sbagliato, ma queste disuguaglianze valgono anche in $ ~\mathbb{R} $ (o alla peggio in $ \mathbb{R}^+ $)

Per AM-GM
$ $\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{b^2+c^2}{2}\cdot\frac{c^2+a^2}{2}\ge\sqrt{a^2b^2}\cdot\sqrt{b^2c^2}\cdot\sqrt{c^2a^2}=a^2b^2c^2 $
che è la tesi

[dario2994]

L'ultima che hai postato io la farei per bunching:
$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \geq 8a^2b^2c^2 $
che è equivalente svolgendo i calcoli a:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^2c^0\geq \sum_{sym}a^2b^2c^2 $
Che è vera per bunching :)

[InTheDark]

Si, certamente valgono anche per i reali, ma la domanda era un pò insensata... Era lecito prendere dei razionali quindi più che domandare poteva dare un consiglio... Ad ogni modo, grazie per il vostro aiuto!