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Sia $a_1 = a_2 = 1$ e $a_{n}=7 a_{n-1}-a_{n-2}$. Dimostrare che $a_n + a_{n+1} + 2$ è sempre un quadrato.
Soluzione. \[ a_n+a_{n+1}+2=\left ( \left ( \frac {3+\sqrt{5}} 2\right )^{n-1} +\left ( \frac 2 {3+\sqrt{5}} \right )^{n-1} \right ) ^2 .\] D'altra parte, l'espressione in parentesi si ...

Apro un topic per dispensare un po' di fatti utili sull'aritmetica modulare e argomenti collegati, che ovviamente serve sempre portarsi da casa. Le dimostrazioni sono lasciate a voi: non si spaventino i novizi, ché ho cercato di rimanere sul facile! Giusto gli ultimi teoremi servoniranno solo se ...

E' vero che esiste solo un numero finito di interi positivi n tali che \pi(n) \mid n ?


NB. \pi(n):=|\{p \in \mathbb{P} : p \le n\}| per ogni n \in \mathbb{N}_0 , dove \mathbb{P}:=\{2,3,5,7,\ldots\} .
NB2. Ci ho provato invano per mesi di risolverlo..
Soluzione. \pi (n) divide $n$ per infiniti ...

Sia dato un quadrilatero convesso di area 1.Si dimostri che si possono trovare 4 punti, sui lati o all'interno di esso, in modo che i triangoli aventi per vertici 3 di questi 4 punti abbiano tutti area maggiore o uguale a $\frac{1}{4}$.
Soluzione. La tesi segue dal teorema di Varignon . È infatti ...

È unsolved su mathlinks da più di una settimana, quindi mi scuso se ho sparato troppo in alto (io ci devo ancora ragionare..)

Trovare tutti gli interi positivi n tali che n^3-8n+13 è un quadrato perfetto.
Soluzione. È noto che gli unici punti a coordinate intere $(x, y)$ sulla curva ellittica $y ...

Trovare tutti gli interi positivi $a$ tali che $4a^3+5$ sia un quadrato perfetto.
Soluzione. L'equazione da risolvere è $4a^3+5=b^2$; si vede facilmente che $b$ è dispari. Se è dunque $b:=2c+1$ l'equazione diventa $c^2+c=a^3+1$, che sotto il cambio di variabile c:=d-\dfrac 1 2 si trasforma come ...