pi(n)|n per quanti n? (stupendo!)

[jordan]

E' vero che esiste solo un numero finito di interi positivi n tali che $ \pi(n) \mid n $ ?


NB. $ \pi(n):=|\{p \in \mathbb{P} : p \le n\}| $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, dove $ \mathbb{P}:=\{2,3,5,7,\ldots\} $.
NB2. Ci ho provato invano per mesi di risolverlo..

[<enigma>²]

E' vero che esiste solo un numero finito di interi positivi n tali che $ \pi(n) \mid n $ ?


NB. $ \pi(n):=|\{p \in \mathbb{P} : p \le n\}| $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, dove $ \mathbb{P}:=\{2,3,5,7,\ldots\} $.
NB2. Ci ho provato invano per mesi di risolverlo..

Soluzione. $ \pi (n) $ divide $n$ per infiniti $n \in \mathbb N ^\ast$. Dimostriamolo facendo uso di due lemmi, uno che dire che fa fatica a venire in mente è un eufemismo e uno piuttosto noto.
Lemma del supercalifragilistichespiralidoso. Sia $\displaystyle \{ a_n \}_{n=1} ^\infty$ una successione non decrescente di interi positivi tale che $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty } \frac {a_n} n =0$: allora $\displaystyle |\{ n \in \mathbb N ^\ast : \frac n {a_n} \in \mathbb N ^\ast \}|=\infty$.

Testo nascosto:

Sia $\displaystyle \mathcal S := \{n \in \mathbb N ^\ast : \frac {a_{nk}} {nk} \geq \frac 1 k \}$: per ipotesi è finito e ha dunque un elemento massimo $\rho$. Dunque o $\frac {a_{k \rho}} {k \rho}=\frac 1 k$, e allora $k \in \{ \frac n {a_n} \}_{n=1} ^\infty$, o altrimenti $a_{k(\rho+1)} \geq a_{k \rho} \geq \rho+1$, ma allora anche $\rho+1 \in \mathcal S$, che contraddice la definizione di $\rho$. Ne concludiamo che $ \{ \frac n {a_n} \in \mathbb N ^\ast : n \in \mathbb N ^\ast\}=\mathbb N ^\ast $.

Lemma della densità dei numeri primi. $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac {\pi(n)} n =0$.

Testo nascosto:

Sia $n \in \mathbb N ^\ast$: ogni $p \in \mathbb P$ che non divide $n$ appartiene ad una delle $\phi (n)$ classi di resto coprime con $n$. Ci sono al massimo $\displaystyle 1+\frac x n$ numeri $ \leq x$ che stanno in una data classe di resto $\mod n$, e dunque i numeri $\leq x$ coprimi con $n$ sono al massimo $\displaystyle \phi (n)+\frac {x \phi(n)} n$, da cui $\displaystyle \pi (x) \underset{x \rightarrow \infty} \leq \left ( \frac {\phi(n)} n+o(1) \right ) x$. Ma $\displaystyle \frac {\phi(w\sharp)} {w\sharp} =\prod _{p \leq w} \left ( 1-\frac 1 p \right )\leq e^{-\sum _{p \leq w} \frac 1 p}.$ Dato che $\displaystyle \sum _{p \in \mathbb P} \frac 1 p \rightarrow \infty$, $\displaystyle \frac {\phi(w\sharp)} {w\sharp} \rightarrow 0$.